Question

Все ребра тетраэдра ABCD равны между собой. Точки M и K середины ребек AD и BC соотвественно. Найдите угол между прямыми MK и DC.

Answer 1

Примем все рёбра заданного тетраэдра равными 1.
Задачу можно решить двумя способами: векторным и геометрическим.

1) Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат точкой А в начало и ребром АВ по оси Оу.
Находим координаты необходимых точек.
С((√3/2; (1/2); 0)                Д((√3/6); (1/2); √(2/3)).
М((√3/12); (1/4); (√6/6))      К((√3/4); (3/4); 0).
Определяем координаты векторов.
СД((-√3/3); 0; √(2/3)), модуль равен √((3/9)+0+(2/3) = 1.
МК((√3/6); (1/2); (-√6/6)), модуль равен √(3/36)+(1/4)+(6/36)) =√(1/2).
cosα = ((-√3/3)*(√3/6)+0*(1/2)+(√(2/3))*(-√6/6))/(1*√(1/2)) = (-1/2)/(1/√2) =
        = -√2/2.
Угол α = 135, или ближайший угол равен 45°.

2) Проверяем геометрическим способом.
    Если проведём осевое сечение через ребро АД, то получим равнобедренный треугольник, две стороны которого - апофемы пирамиды.
Они равны по 1*cos30 = √3/2.
МК как медиана и высота на сторону АД равна √((3/4)-(1/4) = √(2/4) = √2/2 = 1/√2.

Теперь перенесём отрезок МК из точки К в точку С и новую точку М1 соединим с точкой Д.
Получим треугольник ДСМ1 с двумя известными сторонами СД = 1 и СМ1 = 1/√2.
Так как ребро АД перпендикулярно ВС, то перемещение точки М в М1 равно 1/2, а отрезок ММ1 = √((1/2)²+(1/2)²+ = √(2/4) = 1/√2.
Выяснили, что треугольник ДСМ1 имеет две стороны по 1/√2 и одну, равную 1.
Проверим по квадратам сторон: (1/2), (1/2) и 1.
Получаем прямоугольный треугольник с равными катетами.
Значит, угол между МК и СД равен 45 градусов.