Question

В трапеции ABCD основание AD перпендикулярно боковой стороне AB, диагональ AC перпендикулярна стороне CD. Найдите длину стороны CD, если BC=6см, угол BCA=30 градусов.

Answer 1

Дано: ABCD - прямоугольная трапеция(т.к. AB ⊥ AD)

AC ⊥ CD

BC = 6 см.

∠BCA = 30°

Найти: CD

Рассмотрим ΔABC - прямоугольный

$cos\angle BCA = \frac{BC}{AC}\\\\cos\angle BCA = cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}\\\\\frac{\sqrt3}{2} = \frac{6}{AC}\\\\AC = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3\; cm.$

Рассмотрим ΔACD - прямоугольный

AC ║ BC - по определению трапеции, AC - секущая ⇒ ∠BCA = ∠CAB = 30° (накрест лежащие углы при параллельных прямых равны)

$\text{tg}\angle CAD = \frac{CD}{AC}\\\\\text{tg}30^\circ = \frac{\sqrt3}{3}\\\\\frac{\sqrt3}{3} = \frac{CD}{4\sqrt3}\\\\CD = \frac{4\sqrt3\cdot\sqrt3}{3} = 4\; cm.$

Ответ: 4 см