Question

В прямоугольном треугольнике CDE из точки N лежащей на гипотенузе CD опущен перпендикуляр NP на катет CE найдите косинус угла C если СN=9 ND=6, PE = 4

Answer 1

Для решения задачи желательно сделать рисунок. 
Гипотенуза СD, следовательно, прямой угол - Е. 
Перпендикуляр NР разделил треугольник СЕD на две фигуры:
 треугольник NРС и трапецию NРЕD. 
 Проведя отрезок NМ параллельно СЕ, получим
прямоугольный треугольник  DМN  и
прямоугольник МNРЕ. 
МN=РЕ=4 как стороны прямоугольника МNРЕ.
 Треугольники DМN и СЕD подобны.
В них равные углы DNМ и DСЕ по свойству углов при пересечении параллельных прямых МN и СЕ и секущей DС и  по прямому углу при М и Е. 
Следовательно, косинус ∠С равен косинусу ∠DNМ
cos ∠МND=NM:DN=4/6=2/3
Ответ:cos ∠С=2/3
---------------
Поскольку в условии дана  и длина NС, можно удлинить решение, использовав в нём и этот отрезок.  
Треугольники DМN и СРN подобны. т.к углы ДNМ и NСР равны по свойству углов при пересечении параллельных МN и СЕ и секущей DС
 и по прямому углу при М и Р. 
МN:РС=DN:NС
МN=РЕ=4 как стороны прямоугольника МNРЕ.
 Отсюда 4:РС=6:9
6 РС=36
РС=36:6=6 
Косинусом ∠С  является отношение катета РС к гипотенузе NС  
или, что то же самое, 
cos ∠С=ЕС:DС
cos ∠С=6:9=2/3
Из треугольников DЕС и DNМ получим тот же результат. 
cos ∠D=(4+6):(9+6)=10/15=2/3
Ответ:cos ∠С=2/3