Question

10 класс! Из точки к плоскости проведены 2 наклонные. Одна равна 10см и имеет проекцию 8см. Найти длину второй наклонной, если она образует с данной плоскостью угол в 30 градусов.

Answer 1

АВ и АС - наклонные, ОВ=8 см(проекция АВ на плоскость альфа), АВ = 10 см, 

Проведем с пункта А перпендикуляр к плоскости, пункт пересечения обозначим О.

Треугольник АВО - прямоугольный( АО - перпендикуляр)

Найдем АО по теореме Пифагора:

АО^2 = 10^2 - 8^2

AO^2 = 36

AO = 6

Треугольник САО - прямоугольный( АО - перпендикуляр)

СА = 2АО = 2*6=12 см( гипотенуза в два раза больше катета, которай лежит напротив угла в 30 градусов)

Ответ: 12 см

 

Answer 2

Давайте обозначим данную плоскость как \(ABC\), где \(AB\) - горизонтальная проекция, \(AC\) - вертикальная проекция. Также обозначим точку, из которой проведены наклонные, как \(O\), а первую наклонную как \(OA\), где \(OA = 10\) см, а её проекция на плоскость \(AB\) равна \(OB = 8\) см.

Для начала, найдем угол между плоскостью \(ABC\) и наклонной \(OA\). Этот угол можно найти, используя тангенс угла наклона: \[ \tan(\alpha) = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{8} \]

Теперь найдем угол между плоскостью \(ABC\) и второй наклонной \(OB\). У нас уже есть угол между \(OA\) и плоскостью \(ABC\), который равен \(\alpha\), и угол между наклонной \(OB\) и горизонтальной плоскостью \(AB\), который равен 30 градусам.

Таким образом, угол между наклонной \(OA\) и \(OB\) равен \(\alpha + 30\) градусов. Теперь мы можем использовать косинус угла между векторами: \[ \cos(\alpha + 30) = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\lVert \vec{OA} \rVert \cdot \lVert \vec{OB} \rVert} \]

Здесь \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\) - векторы, представляющие наклонные \(OA\) и \(OB\) соответственно. Теперь мы можем решить уравнение относительно длины вектора \(OB\), которая и будет длиной второй наклонной.

\[ \lVert \vec{OB} \rVert = \frac{\vec{OA} \cdot \vec{OB}}{\cos(\alpha + 30)} \]

Подставим значения и решим уравнение.