Question

Окружность касается сторон AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD соответственно в точках A1, B1, C1 и D1. Найти его стороны, если известно, что отрезки A1C1 и B1D1 перпендикулярны, причем AA1=18, CB1=32, а A1B:D1D=4:1

Answer 1

Тут вся хитрость в том, что угол между хордами равен полусумме дуг между концами хорд. То есть полусумма дуг A1D1 и B1C1 равна 90°; это означает, что
∠A1OD1 + ∠B1OC1 = 180°; 
Все четырехугольники типа AA1OD1 имеют два прямых угла, поэтому 
∠BAD = 180° - ∠A1OD1; ∠BCD = 180° - ∠B1OC1; 
легко видеть, что получилось ∠BAD + ∠BCD = 180°; 
то есть ABCD - не только описанный, но и вписанный четырехугольник.
Все отрезки типа AO (то есть соединяющие центр вписанной окружности с вершинами) - биссектрисы соответствующих углов. Поэтому
∠A1AO + ∠B1CO = 90°;
из чего следует, что прямоугольные треугольники AA1O и B1OC - подобны.
Я на чертеже отметил равные углы. ∠BOC = ∠A1AO; 
Точно также получается, что подобны треугольники OBB1 и ODD1; и 
∠DOC1 = ∠B1BO;
Из этого подобия получается два соотношения
B1C/B1O = A1O/A1A; то есть 32/R = R/18; или R = 24;
BB1/OB1 = OC1/C1D; или 4*x/R = R/x; 2*x = R; x = 12;
Отсюда стороны ABCD равны
AB = 18 + 4*12 = 66;
BC = 32 + 4*12 = 80;
CD = 32 + 12 = 44;
AD = 18 + 12 = 30;

Answer 2

Дано: ABCD - четырехугольник a1, b1, c1, d1 - точки на окружности, касающейся сторон AB, BC, CD и DA соответственно a1c1 и b1d1 - перпендикуляры aa1 = 18, cb1 = 32, a+a1b:d1d = 4:1

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится некоторая геометрическая информация.

1. Так как a1c1 и b1d1 - перпендикуляры и касательные, то AC и BD - диаметры окружности.

2. Сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 градусам. Таким образом, углы A и C, а также углы B и D являются смежными.

3. Так как AD и BC - диаметры окружности, то углы A и D, а также углы B и C равны 90 градусов.

4. Из условия aa1 = 18 следует, что AB = 2 * aa1 = 36.

5. Из условия cb1 = 32 следует, что BC = 2 * cb1 = 64.

Обозначим стороны четырехугольника в следующем порядке: AB, BC, CD, DA.

Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Из утверждения 1 следует, что AC = d + b. Так как A и C - смежные углы, то sin(A) = sin(C).

Из утверждения 2 следует, что sin(A) = sin(B) и sin(C) = sin(D).

Из утверждения 3 следует, что sin(A) = sin(D).

Из утверждения 4 следует, что sin(A) = 18 / 36 = 0.5.

Таким образом, sin(D) = sin(A) = 0.5.

Из утверждения 5 следует, что cos(A) = 36 / d, cos(B) = 64 / b, cos(C) = 64 / c, cos(D) = 36 / a.

Так как sin(A) = sin(D) и sin(C) = sin(D), то

0.5 = 36 / d = 64 / b = 64 / c = 36 / a.

Отсюда получаем выражения для сторон четырехугольника:

a = 36 / 0.5 = 72, b = 64 / 0.5 = 128, c = 64 / 0.5 = 128, d = 36 / 0.5 = 72.

Таким образом, стороны четырехугольника ABCD равны: AB = 36, BC = 64, CD = 64, DA = 36.