Question

В треугольнике АВС на стороне АВ отметили точку D. Через неё провели прямую, параллельную АС. Она пересекла сторону ВС в точке Е. Через точку Е провели прямую, параллельную CD. Эта прямая пересекла сторону АВ в точке F. Известно, что BF=4 см, FD=6 см. Найдите длину AD (в см).

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для решения задачи мы будем использовать теорему Талеса, согласно которой если параллельные прямые пересекают стороны треугольника, то отрезки, отсекаемые на одной паре сторон, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на другой паре сторон.

Пусть отрезок АЕ равен х см. Тогда, согласно теореме Талеса, отрезок ЕС будет равен (АС/АВ) * х. Так как АС и АВ - параллельные стороны, то отношение их длин равно (АС/АВ) = (СЕ/СВ). По условию СЕ = АЕ = х и СВ = АВ + ВС = АВ + х.

Заменим в формуле и получим (АС/АВ) = х / (АВ + х).

Теперь рассмотрим треугольник EFD. Согласно теореме Талеса, отношение отрезков (ЕF/FD) = (ЕD/DF). По условию ЕF = х, FD = 6 см, а отношение (ЕF/FD) = (СЕ/СВ) = х / (АВ + х).

Подставим сюда известные значения и получим х / 6 = х / (АВ + х).

Приведем уравнение к общему знаменателю и получим х(АВ + х) = 6х.

Раскроем скобки и получим хАВ + х^2 = 6х.

Упростим уравнение и получим х^2 - 5хАВ = 0.

Факторизуем уравнение и получим х(х - 5АВ) = 0.

Учитывая, что длина стороны не может быть равна нулю, мы имеем два возможных значения для х: х = 0 или х - 5АВ = 0.

Из условия задачи видно, что х должно быть положительным значением, поэтому мы выбираем второй вариант.

Подставим х = 5АВ в уравнение (АС/АВ) = х / (АВ + х).

Получим (АС/АВ) = (5АВ) / (АВ + 5АВ).

Упростим выражение и получим (АС/АВ) = 5АВ / 6АВ = 5/6.

Теперь, зная отношение длин сторон треугольника АС/АВ = 5/6 и заметив, что ЕС = АС - АЕ = х - х = 0, мы можем применить теорему Пифагора и найти длину стороны АС: (АВ)^2 + (ВС)^2 = (АС)^2.

Подставим известные значения: (АВ)^2 + (АВ + ВС)^2 = (АС)^2.

Разложим скобки и получим (АВ)^2 + (АВ)^2 + 2АВ*ВС + (ВС)^2 = (АС)^2.

Учитывая, что (АВ)^2 + (ВС)^2 = (АС)^2, можем записать уравнение 2(АВ)^2 + 2АВ*ВС = (АС)^2.

Подставим известное отношение длин сторон и получим: 2(АВ)^2 + 2АВ*ВС = (5/6)^2(АВ)^2.

Упростим уравнение и получим 12(АВ)^2 + 12АВ*ВС = 25(АВ)^2.

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и получим 25(АВ)^2 - 12(АВ)^2 - 12АВ*ВС = 0.

Упростим и получим 13(АВ)^2 - 12АВ*ВС = 0.

Факторизуем уравнение и получим (13АВ - 12ВС)(АВ) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных решения: 13АВ - 12ВС = 0 или АВ = 0.

Теперь рассмотрим первое решение: 13АВ - 12ВС = 0.

Разделим обе части уравнения на В и получим 13А/В - 12С = 0.

Разделим обе части уравнения на 12 и получим А/В - С/12 = 0.

Таким образом, мы получаем, что А/В = С/12.

Заметим, что А/В = (EF/ФD), так как АВ и EF - параллельные стороны.

Подставим известные значения, получим (EF/ФD) = С/12.

Так как EF = х и FD = 6 см, мы имеем х/6 = С/12.

Упростим уравнение и получим х = 2С.

Заметим, что EF = CD = х, поэтому х = 2С означает, что CD = 2С.

Теперь можем выразить АС через АВ и CD.

Согласно теореме Пифагора, (АВ)^2 + (ВС)^2 = (АС)^2.

Подставим известные значения: (АВ)^2 + (АВ + CD)^2 = (АС)^2.

Раскроем скобки и получим (АВ)^2 + (АВ)^2 + 2АВ*CD + (CD)^2 = (АС)^2.

Учитывая, что (АВ)^2 = (CD)^2, мы можем переписать уравнение в виде 2(АВ)^2 + 2АВ*CD = (АС)^2.

Подставим известное значение CD = 2С и получим уравнение 2(АВ)^2 + 4АВ*С = (АС)^2.

Подставим известное значение АС = ВС + АВ и получим 2(АВ)^2 + 4АВ*С = (ВС + АВ)^2.

Раскроем скобки и получим уравнение 2(АВ)^2 + 4АВ*С = (ВС)^2 + 2ВС*АВ + (АВ)^2.

Сократим слагаемые и получим уравнение 4АВ*С = (ВС)^2 + 2ВС*АВ.

Поделим обе части уравнения на ВС и получим 4АВ/ВС = ВС + 2АВ / ВС.

Упростим уравнение и получим 4А/С = ВС/ВС + 2А/С.

Заметим, что ВС/ВС = 1, поэтому можем записать уравнение в виде 4А/С = 1 + 2А/С.

Раскроем скобки и получим уравнение (4А - 2А)/С = 1.

Упростим и получим 2А/С = 1.

Поделим обе части уравнения на 2 и получим А/С = 1/2.

Таким образом, мы получаем, что А/С = 1/2.

Воспользуемся ранее полученным равенством А/В = С/12.

Заменим С на 12А/В в уравнении А/С = 1/2 и получ