Question

в равнобедренный треугольник с периметром 16 см и высотой 4см, приведённой к основанию, вписан прямоугольник наибольшей площадинайти размеры прямоугольника

Answer 1

РЕШЕНИЕ

в треугольнике

периметр P=16 см

высота h=4см

основание - a

боковая сторона - b

{   P=a+2b

{   h^2=b^2-(a/2)^2

решим систему

{  16= a+2b

{  4^2= b^2-(a/2)^2

после подстановки переменных

a= 6 см  ;  b=5 см

вершина прямоугольника разбивает боковою сторону на 2 отрезка

|с|  и |b-c|=|5-c|

из подобия треугольников находим стороны прямоугольника

x=6/5*(5-c)

y=4/5*c

формула площади прямоугольника

S=xy= c*6/5(5-c)* 4/5*c=24/25*(5c-c^2)

производная  дает МАКСИМУМ функции

S'=24/25*(5-2c) <----------- приравняем к 0

24/25*(5-2c)=0  ; (5-2c)=0

с=2.5 ----------> х=3  ;  y=2

ОТВЕТ  2 ;  3 -размеры прямоугольника МАКСИМАЛЬНОЙ площади

Answer 2

Давай разберемся! У нас есть равнобедренный треугольник с высотой, которая проведена к его основанию. Рассмотрим эту ситуацию подробнее.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Площадь каждого из этих прямоугольных треугольников составляет половину площади всего треугольника.

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота} \]

У нас есть высота равна 4 см и периметр равен 16 см. Периметр равнобедренного треугольника можно выразить через его стороны, так как у нас две равные стороны \( a \) и одна основание \( b \):

\[ 16 = 2a + b \]

Также, так как высота равна 4 см, мы можем воспользоваться тем, что высота делит основание на две равные части, то есть основание \( b = 2x \), где \( x \) - длина основания прямоугольника.

Сначала найдем сторону \( a \) равнобедренного треугольника. Мы знаем, что \( a = \frac{\text{Периметр} - \text{Основание}}{2} \):

\[ a = \frac{16 - 2x}{2} = 8 - x \]

Теперь найдем площадь треугольника:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота} \] \[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 2x \times 4 = 4x \]

Наша задача - максимизировать площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника, вписанного в равнобедренный треугольник, будет максимальной, когда она равна половине площади треугольника. Таким образом, \( 4x \) должно быть максимальным.

Чтобы найти максимальное значение \( 4x \), нужно понять, что \( x \) не может быть больше половины периметра, иначе прямоугольник не будет вписан в треугольник. Так что \( x \) не может быть больше \( \frac{16}{2} = 8 \) см.

Таким образом, чтобы получить максимальную площадь прямоугольника, \( x \) должно быть \( 8 \) см. Тогда площадь прямоугольника будет равна \( 4 \times 8 = 32 \) квадратных сантиметра.