Question

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Вычислите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади ее основания

Answer 1

Боковая поверхность  правильной  пирамиды=3  площадям  пряммоугольных  треугольнтков Знчит  отношение  будет  три  к  одному

Answer 2

Давайте рассмотрим правильную треугольную пирамиду, у которой угол при вершине равен 90°. Пусть основание пирамиды - равносторонний треугольник, а высота из вершины пирамиды перпендикулярна основанию и делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Пусть сторона основания треугольника равна "a", а высота пирамиды, проведенная из вершины к середине стороны основания, равна "h". Тогда длина боковой грани пирамиды равна гипотенузе одного из прямоугольных треугольников, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[c^2 = a^2 + h^2\]

Где: - \(c\) - длина боковой грани (гипотенуза), - \(a\) - длина стороны основания, - \(h\) - высота пирамиды из вершины к середине стороны основания.

Теперь давайте найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь каждой боковой грани равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани. В случае равностороннего треугольника периметр равен тройке длин сторон основания:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot h\]

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot h\]

Теперь рассмотрим площадь основания пирамиды. Для равностороннего треугольника площадь можно выразить через длину стороны:

\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]

Теперь, отношение площади боковой поверхности к площади основания будет равно:

\[\frac{S_{\text{бок}}}{S_{\text{осн}}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3a \cdot h}{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2}\]

Упростим это выражение. Сначала упростим числитель:

\[3ah = \frac{6ah}{2}\]

Теперь подставим в исходное выражение:

\[\frac{\frac{6ah}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2} = \frac{\frac{6ah}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{3} \cdot a^2}}{1}\]

Теперь сократим \(a\) в числителе и знаменателе:

\[\frac{6h}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, отношение площади боковой поверхности к площади основания равно \(\frac{6h}{\sqrt{3}}\).