Question

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ точка N делит катет АС в отношении 2:1 считая от вершины А. Известно, что отрезок ВN пересекает биссектрису АМ в точке К так, что АК=9, КМ =4. Найти стороны треугольника АВС.

Answer 1

Опустим  NG||AM  CAM и СNG подобны: NG=13/3
NGB и KAB подобны: NK/KB=1/12
ПО  теореме  бессектрисы: AB=24x
СB=8*CN
Далее  по пифагору:
x*sqrt(24^2-9)=sqrt(169-9x^2)*8
Дальше сами.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся несколькими свойствами треугольников.

Обозначим длину катета \( AC \) как \( x \). Тогда длина катета \( BC \) будет \( 2x \), так как точка \( N \) делит катет \( AC \) в отношении 2:1.

Теперь обратим внимание на биссектрису \( AM \) и отрезок \( BN \), которые пересекаются в точке \( K \). Известно, что \( AK = 9 \) и \( KM = 4 \).

Также заметим, что треугольник \( AMK \) подобен треугольнику \( ABC \) по признаку общего угла (\( \angle AMK = \angle ABC \)).

Из подобия треугольников можем записать отношение соответствующих сторон:

\[ \frac{AK}{AB} = \frac{KM}{BC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{9}{x} = \frac{4}{2x} \]

Решив это уравнение, найдем значение \( x \), которое представляет собой длину катета \( AC \).

\[ \frac{9}{x} = \frac{4}{2x} \implies 9 \cdot 2x = 4 \cdot x \implies 18x = 4x \implies x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \]

Теперь, когда мы знаем длину катета \( AC \), можем найти длины других сторон:

\[ BC = 2x = 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{9} \]

и

\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{\left(\frac{2}{9}\right)^2 + \left(\frac{4}{9}\right)^2} \]

Таким образом, длины сторон треугольника \( ABC \) равны:

\[ AC = \frac{2}{9}, \quad BC = \frac{4}{9}, \quad AB = \sqrt{\left(\frac{2}{9}\right)^2 + \left(\frac{4}{9}\right)^2} \]