Question

Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 18 и 13. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Answer 1

18-13=5,длина меньшего основания равна 5,большего основания равна 18+13=31,сумма длин оснований равна 31+5=36,Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и равна  36:2=18

Answer 2

Давайте обозначим вершину трапеции буквой A, большее основание - BC, меньшее основание - AD, а перпендикуляр, опущенный из вершины A на большее основание BC, - это высота трапеции и обозначим его H.

Таким образом, мы имеем:

AB = CD = 18 (длина большего основания), BC = 13 (длина меньшего основания), H - высота трапеции.

Так как трапеция равнобедренная, то ее основания равны: AB = CD.

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Пусть M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Тогда AM и BN - сегменты средней линии.

Так как AM и BN - это медианы трапеции, то AM равно половине длины основания AB, и BN равно половине длины основания CD.

AM = BN = AB / 2 = 18 / 2 = 9.

Теперь у нас есть два треугольника: AMH и BNH.

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике отношение длины гипотенузы к катетам равно корню из суммы квадратов катетов. В данном случае, длина гипотенузы - это высота H, катеты - AM и BN.

\[ H = \sqrt{AM^2 + BN^2} \] \[ H = \sqrt{9^2 + 9^2} \] \[ H = \sqrt{81 + 81} \] \[ H = \sqrt{162} \]

Теперь у нас есть значение высоты H. Средняя линия соединяет середины боковых сторон, поэтому ее длина равна среднему арифметическому длин боковых сторон трапеции:

\[ \text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2} \] \[ \text{Средняя линия} = \frac{18 + 13}{2} \] \[ \text{Средняя линия} = \frac{31}{2} \]

Таким образом, средняя линия равнобедренной трапеции равна \( \frac{31}{2} \), а высота трапеции H равна \( \sqrt{162} \).