Question

Через концы хорды, длина которой равна 30, проведены две касательные до пересечения в точке А. Найти расстояние от точки А до хорды, если радиус окружности равен 17

Answer 1

Если ВВ1 - хорда, а С -её середина, то прямоугольный треугольник ОСВ (и равный ему треугольник ОСВ1) - с катетом ВС= 30/2 = 15 и гипотенузой  OB = 17, поэтому второй катет СО = 8; (Пифагорова тройка 8,15,17). 

Треугольник АВC - прямоугольный и подобный треугольнику ОВС - у них равные острые углы - например, угол ВАС равен углу СВО, потому что у этих углов стороны попарно перпендикулярны.

Поэтому АС/ВС = ВС/СО;

AC = 15^2/8 = 225/8;

 

Для любителей формул можно заметить, что ВС - высота к гипотенузе АО в прямоугольном треугольнике АВО, и она делит гипотенузу на отрезки АС и СО.

Поэтому ВС^2 = AC*CO

Я просто предпочитаю не пользоваться формулами - всегда есть риск применить готовое соотношение не там, где надо.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательных.

Пусть M и N - точки пересечения касательных с окружностью, а O - центр окружности. Тогда, согласно теореме о касательных, OMA = ONA = 90°, где MA и NA - касательные к окружности.

Также, согласно свойству хорды, вписанной в окружность, мы получаем, что OMA = ONA = OAN = OAM = 90°.

Обозначим длину одной из хорд, равной 30, через AB. Заметим, что MB = NA и NB = MA, так как МАН - равнобедренный треугольник.

Тогда, используя теорему Пифагора для треугольников ABM и ANB, получим:

AB^2 = AM^2 + MB^2 = AN^2 + NB^2.

Поскольку AM = AN (так как это радиус окружности), то AM^2 + MB^2 = AM^2 + NA^2.

Simplifying the equation, we get:

MB^2 = NA^2.

Из этого следует, что MB = NA.

Таким образом, треугольники ABM и ANB являются равными по двум сторонам, поэтому они также равны по третьей стороне, и AM = NB.

Мы можем заметить, что треугольники OMA и OAN являются прямоугольными, поэтому мы можем применить теорему Пифагора: OA^2 = OM^2 + AM^2, OA^2 = ON^2 + NA^2.

Так как AM = NB и OM = ON (так как это радиус окружности), то:

OA^2 - OM^2 = OA^2 - ON^2, OA^2 - R^2 = OA^2 - R^2, 0 = 0.

Это верное утверждение, поэтому наш вывод, что треугольники OMA и OAN являются равнобедренными и треугольники ABM и ANB равны.

Итак, поскольку треугольник AMB равнобедренный, АМ является высотой, а NB - основанием.

Теперь мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника, чтобы найти высоту AM:

AM^2 = AL^2 + LM^2, AM^2 = R^2 - (AB/2)^2.

Подставляя данные из задачи, получаем:

AM^2 = 17^2 - (30/2)^2, AM^2 = 289 - 225, AM^2 = 64.

AM = √64 = 8.

Таким образом, расстояние от точки A до хорды равно 8 единиц длины.