Question

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

Answer 1

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону. к которой она проведена. 
S АВСД=МН*АД
S△АЕД=ЕН*АД:2
S▽ВЕС=ВС*МЕ:2
АД=ВС
S△АЕД+S▽ВЕС= ЕН*АД:2+ВС*МЕ:2=АД(ЕН+МЕ):2
ЕН+МЕ=МН
S△АЕД+S▽ВЕС=АД*МН:2

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим параллелограмм ABCD и выбранную внутри него точку E. Параллелограмм ABCD имеет две пары параллельных сторон: AB || CD и AD || BC.

Площадь треугольника BEC

Площадь треугольника BEC можно выразить как половину произведения длины основания BE и высоты, опущенной из вершины C на это основание. Обозначим высоту через h1.

Площадь треугольника BEC = 0.5 * BE * h1

Площадь треугольника AED

Аналогично, площадь треугольника AED можно выразить как половину произведения длины основания AE и высоты, опущенной из вершины D на это основание. Обозначим высоту через h2.

Площадь треугольника AED = 0.5 * AE * h2

Площадь параллелограмма ABCD

Площадь параллелограмма ABCD можно выразить как произведение длины одной из его сторон AB на высоту, опущенную на эту сторону. Обозначим высоту через h.

Площадь параллелограмма ABCD = AB * h

Доказательство

Для доказательства того, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма ABCD, нам нужно показать, что:

0.5 * BE * h1 + 0.5 * AE * h2 = AB * h / 2

Для этого, мы можем воспользоваться тем, что точка E лежит внутри параллелограмма ABCD. Это означает, что отрезок AE параллелен отрезку CD, и отрезок BE параллелен отрезку AD. Также, из свойств параллелограмма, мы знаем, что стороны AB и CD равны, а стороны AD и BC равны.

Таким образом, мы можем записать следующие равенства:

BE = AD AE = CD h1 = h2 = h

Теперь, подставим эти значения в уравнение:

0.5 * BE * h1 + 0.5 * AE * h2 = 0.5 * AD * h + 0.5 * CD * h

Объединим слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

0.5 * AD * h + 0.5 * CD * h = (0.5 * AD + 0.5 * CD) * h

Используя свойство равности сторон параллелограмма ABCD:

0.5 * AD + 0.5 * CD = 0.5 * (AD + CD) = 0.5 * AB

Таким образом, получаем:

(0.5 * AD + 0.5 * CD) * h = 0.5 * AB * h

Или, в другой форме:

0.5 * BE * h1 + 0.5 * AE * h2 = 0.5 * AB * h

То есть, сумма площадей треугольников BEC и AED действительно равна половине площади параллелограмма ABCD.

Доказательство завершено.