Question

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60° , а расстояние от точки А до точки О равно 6.

Answer 1

Радиусы окружности, проведенные в точку касания-перпендикуляры ⇒
ΔАСО и ΔАВО-прямоугольные
АО-общая
СО=ОВ(как радиусы)
АС=АВ(как отрезки касательных, проведенных из одной точки)
ΔАСО=ΔАВО ⇒
углы САО и ОАВ тоже равны=60/2=30
катет, лежащий против угла в 30 градусов равен 1/2 гипотенузы, значит ОС или ОВ=АО/2=6/2=3

Answer 2

Давайте обозначим радиус окружности как \( R \). Поскольку точка \( O \) является центром окружности, и точка \( A \) лежит на окружности, расстояние от \( O \) до \( A \) равно радиусу \( R \).

Теперь, когда проведены две касательные из точки \( A \), они образуют угол в центре окружности, который равен удвоенному углу между касательными. Таким образом, угол между касательными \( \angle AOB \) равен \( 60^\circ \).

Также известно, что угол между касательной и радиусом, проведенным в точке касания, является прямым углом. Таким образом, угол \( \angle AOM \) (где \( M \) - точка касания) также равен \( 90^\circ \). Таким образом, угол \( \angle BOM \) (поскольку углы в треугольнике \( AOB \) составляют \( 180^\circ \)) равен \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \( OAM \) с известной гипотенузой \( OA = R \) и известным углом \( \angle AOM = 90^\circ \). Мы знаем также, что расстояние от \( A \) до \( O \) равно 6.

Мы можем использовать тригонометрический косинус для нахождения катета \( AM \):

\[ \cos(\angle AOM) = \frac{AM}{OA} \]

\[ \cos(90^\circ) = \frac{AM}{R} \]

\[ 0 = \frac{AM}{R} \]

Отсюда следует, что \( AM = 0 \), что означает, что точка касания \( M \) совпадает с точкой \( O \). Таким образом, касательные проведены из точки \( A \) к окружности с центром в точке \( O \).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник \( OAB \) с известной гипотенузой \( OA = R \) и известным углом \( \angle BOM = 30^\circ \). Мы также знаем, что расстояние от \( A \) до \( O \) равно 6.

Мы можем использовать тригонометрический косинус для нахождения катета \( AB \):

\[ \cos(\angle BOM) = \frac{AB}{OA} \]

\[ \cos(30^\circ) = \frac{AB}{R} \]

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AB}{R} \]

Теперь мы можем выразить \( AB \) через \( R \):

\[ AB = \frac{\sqrt{3} \cdot R}{2} \]

Также известно, что \( AO = 6 \), и мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника \( OAB \):

\[ OA^2 = OB^2 + AB^2 \]

\[ R^2 = R^2 + \left(\frac{\sqrt{3} \cdot R}{2}\right)^2 \]

\[ R^2 = R^2 + \frac{3R^2}{4} \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ 4R^2 = 4R^2 + 3R^2 \]

\[ 4R^2 = 7R^2 \]

\[ R^2 = \frac{4}{7} \cdot 6^2 \]

\[ R^2 = \frac{4}{7} \cdot 36 \]

\[ R^2 = \frac{144}{7} \]

\[ R = \sqrt{\frac{144}{7}} \]

\[ R = \frac{12}{\sqrt{7}} \]

Таким образом, радиус окружности равен \( \frac{12}{\sqrt{7}} \).