Question

В цилиндр вписан шар так, что основания цилиндра касаются шара. Объем шара равен V. Найдите объем цилиндра.

Answer 1

V=4/3πR³,  R³=3V/4π для куба
V=πr²h, r=R, h=2R, V=πR²*2R=2πR³=2π*3V/4π=3V/2 объём цилиндра

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно.

Обозначим радиус шара как \( r \). Так как цилиндр вписан в шар так, что его основания касаются шара, радиус цилиндра будет равен радиусу шара, то есть \( r \).

Теперь, если шар полностью вписан в цилиндр, то диаметр шара равен высоте цилиндра. Пусть \( h \) - это высота цилиндра.

Объем шара выражается формулой \( V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \). Также, объем цилиндра можно выразить формулой \( V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 h \).

У нас есть условие, что объем шара равен \( V \). Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ \frac{4}{3}\pi r^3 = V \]

Теперь найдем выражение для высоты цилиндра. Мы знаем, что \( h \) (высота цилиндра) равна диаметру шара, то есть \( 2r \).

Теперь подставим \( h = 2r \) в формулу объема цилиндра:

\[ V_{\text{цилиндра}} = \pi r^2 (2r) \] \[ V_{\text{цилиндра}} = 2\pi r^3 \]

Таким образом, мы видим, что объем цилиндра \( V_{\text{цилиндра}} = 2\pi r^3 \). С учетом условия, что объем шара равен \( V \), мы можем записать:

\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

Теперь, чтобы найти объем цилиндра, мы можем использовать уравнение:

\[ V_{\text{цилиндра}} = \frac{3}{2}V \]

Таким образом, объем цилиндра вписанного в шар, при условии, что основания цилиндра касаются шара, равен \(\frac{3}{2}V\).