Question

В трапеции ABCD с основанием AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Площадь треугольника BOC равна 4, площадь треугольника AOD равна 9. Найти площадь трапеции.

Answer 1

АВСД-трапеция, МК перпендикуляр к АД иВС.  S=((AD+BC)/2)·MK,

ΔВОС подобен ΔАОД (<ВОС=<АОД как вертикальные углы.<ОАД=<ОСВ как накрест лежащие при параллельных прямых АД и ВС и секущей АС). Отношение площадей под.т-ов  равно квадрату коэффициента подобия.S₂/S₁=9/4=3/2.

ВС=х, тогда АД=3/2·х  МО=у, ОК=3 /2 ·у.  ½xy=4,  xy=8, x=8/y, (MK=y+1.5y=2,5y)

BC=8/y, AD=8/y·3/2=12/y;   S=((8/y+12/y)/2 )·2,5y=(20/y·½)·2.5y=(10/y)·2,5y=25.

Answer 2

Пусть точка M - точка пересечения диагоналей AC и BD. Так как треугольник BOC и треугольник AOD находятся на одной базе BC, и высота проведена из точки O перпендикулярно к BC, то площади этих треугольников пропорциональны отношению высот, опущенных на базу BC из точек O и M. Обозначим h1 - высоту, опущенную из точки O, и h2 - высоту, опущенную из точки M.

Площади треугольников BOC и AOD имеют вид: S1 = (1/2)*BC*h1, S2 = (1/2)*BC*h2.

Так как S1 = 4 и S2 = 9, получаем систему уравнений: (1/2)*BC*h1 = 4, (1/2)*BC*h2 = 9.

Разделим уравнения друг на друга и получим: (h1 / h2) = (4/9).

Так как проведенные высоты h1 и h2 из точек O и M соответственно являются высотами треугольников BOC и AOD, отношение этих высот равно отношению площадей: (h1 / h2) = (S1 / S2) = (4/9).

Отсюда следует, что площадь треугольника BOM составляет 4/9 от площади треугольника AOM.

Теперь рассмотрим отношение площадей треугольников BOM и AOC. Они находятся на одной высоте, опущенной из вершины O к отрезку BC, поэтому это отношение будет равно отношению длин баз AB и DC:

(S(BOM) / S(AOC)) = (BO / AO) = (AB / DC).

Так как треугольник BOM составляет 4/9 от площади треугольника AOM, то (S(BOM) / S(AOM)) = (4/9).

Также из подобия треугольников BOM и COB следует, что (BO / AO) = (BM / CO) = (4/9).

Таким образом, величина (AB / DC) равна величине (BM / CO) и обозначим их как x. Тогда (4/9) = x.

Так как BC и AD – основания трапеции ABCD, то S(ABCD) = (1/2) * (AB + DC) * h, где h - высота трапеции.

Так как (AB / DC) = x = (4/9), то AB = (4/9)*DC.

Также из подобия треугольников BOM и COB следует, что BM = (4/9)*CO.

Подставим полученные значения в формулу для площади трапеции ABCD: S(ABCD) = (1/2) * (AB + DC) * h = (1/2) * ((4/9)*DC + DC) * h = (13/18) * DC * h.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Площадь этого треугольника равна: S(AOC) = (1/2) * AO * h = 9.

Так как (BO / AO) = (4/9), то BO = (4/9) * AO. Подставим это значение в формулу для площади треугольника AOC: S(AOC) = (1/2) * AO * h = (1/2) * (9 / ((4/9)*AO)) * h = (81/8) * (1/AO) * h.

Так как S(AOC) = 9, то (81/8) * (1/AO) * h = 9.

Теперь получим значение площади треугольника AOC из этого уравнения: (1/AO) * h = 72/81.

Теперь обратимся к треугольнику COB. Площадь этого треугольника равна: S(COB) = (1/2) * BO * h = (1/2) * ((4/9)*AO) * h = (4/18) * AO * h = (2/9) * AO * h.

Так как S(COB) = 4, то (2/9) * AO * h = 4.

Теперь получим значение площади треугольника COB из этого уравнения: AO * h = 18/2.

Теперь найдем площадь трапеции ABCD: S(ABCD) = (13/18) * DC * h = (13/18) * DC * (AO * h) = (13/18) * DC * (18/2) = (13/2) * DC.

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна (13/2) * DC.