Question

Дана трапеция ABCD с основаниями AD=20 и BC=8, О -точка пересечения диагоналей. Разложите вектор DO по векторам AD=a и AB=b.

Answer 1

Векторы будем обозначать скобками.
Тогда,
1) (АD)+(DВ) =(АВ) => (DB)=a - b;
2) (DB) = (DO) + (OB), но (DO) и (OB) одинаково направлены, причем ОВ/DO=8/20=2/5. Значит, (DB) = (DO) + 2/5(DО) = 7/2(DO);
3) итак (DO) = 2/7(а - b).

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

У нас есть трапеция ABCD с основаниями AD и BC. O - точка пересечения диагоналей (для трапеции диагонали пересекаются в одной точке).

Из условия задачи известно, что AD = 20 и BC = 8.

Теперь, нарисуем трапецию и обозначим вектора AD, AB и DO:

A------------------B
 \                /
  \              /
   \            /
    \          /
     \        /
      \      /
       \    /
        \  /
         \/
         D

Теперь, вектор DO можно разложить по векторам AD и AB с использованием компонент:

\[ DO = x \cdot AD + y \cdot AB \]

Нам нужно найти коэффициенты \( x \) и \( y \). Для этого воспользуемся свойством параллелограмма: вектор DO равен сумме векторов AO и OD.

\[ DO = AO + OD \]

Также, вектор AO можно представить как сумму векторов AD и AB:

\[ AO = AD + AB \]

Теперь подставим это обратно в первое уравнение:

\[ DO = (AD + AB) + OD \]

Теперь выразим OD через векторы AD и AB:

\[ OD = DO - (AD + AB) \]

Теперь подставим это в исходное уравнение:

\[ DO = x \cdot AD + y \cdot AB \]

\[ DO = (DO - (AD + AB)) \]

Теперь раскроем скобки:

\[ DO = DO - AD - AB \]

Теперь сложим AD и AB на обе стороны уравнения:

\[ AD + AB + DO = DO \]

Теперь выразим DO:

\[ DO = AD + AB \]

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для разложения вектора DO:

\[ DO = x \cdot AD + y \cdot AB \]

\[ AD + AB = x \cdot AD + y \cdot AB \]

Теперь сгруппируем подобные члены:

\[ AB - y \cdot AB = x \cdot AD - AD \]

\[ AB \cdot (1 - y) = AD \cdot (x - 1) \]

Теперь выразим y:

\[ y = 1 - \frac{AD}{AB} \]

Таким образом, мы нашли значение y. Теперь подставим его обратно в уравнение для разложения вектора DO:

\[ DO = AD + AB \]

\[ DO = x \cdot AD + (1 - \frac{AD}{AB}) \cdot AB \]

Теперь выразим x:

\[ x = \frac{DO}{AD} - \frac{AB}{AD} + 1 \]

Теперь мы знаем значения x и y, и можем представить вектор DO как линейную комбинацию векторов AD и AB.