Question

Из точки D ,лежащей внутри угла B,проведены к его сторонам перпендикуляры DA и DB.докажите что если эти перпендикуляры равны что луч BD является биссектрисой угла ABC2)если луч BD является биссектпмсой угла ABC ,то DA=DB

Answer 1

Если речь идет о точке Д, лежащей на биссектрисе угла АВС,
то пожалуйста:
треугольник АDВ и треугольник ADС имеют по 2 (точнее даже по 3) равных угла (по одному при биссектрисе, по одному при перпендикулярах) и одну общую сторону ВД.
Следовательно, эти треугольники равны, и значит, равны соответствующие стороны : ДА=ДС

Answer 2

Пусть перпендикуляры da и db равны (da = db) и луч bd является биссектрисой угла abc.

1) Докажем, что луч bd является биссектрисой угла abc.

Возьмем точку e на луче ba, такую что ae = ad. Так как da = db, то получаем, что ae = eb.

Построим отрезок ec и проведем через точку e линию, параллельную bc, которая пересекает луч bd в точке f.

Так как ae = eb, то получаем, что у треугольника abe равны два угла: угол aeb = угол eba (оба равны углу abc).

Также из того, что линия parf || bc и угол aeb = угол fbc (параллельные линии образуют равные углы), следует, что у треугольника bcf равны два угла: угол fbc = угол bcf (оба равны углу fba).

Таким образом, получается, что у треугольника abf равны два угла: угол abc = угол fba.

Так как угол abc = угол fba, то луч bd является биссектрисой угла abc.

2) Теперь докажем, что если луч bd является биссектрисой угла abc, то da = db.

Пусть bd является биссектрисой угла abc. Тогда угол cbd = угол dba.

Построим точку e на луче ba, такую что угол cbe = угол eba.

Так как bd является биссектрисой угла abc, то угол cbd = угол dba.

Также из угла cbe = eba следует, что у треугольника cbe равны два угла: угол cbe = угол ebc.

Таким образом, получается, что у треугольника cbe равны два угла: угол dba = угол ebc.

Так как угол dba = угол ebc, то по теореме о равных углах получаем, что у треугольника ade равны два угла: угол adc = угол eda.

Также из того, что луч bd является биссектрисой угла abc и угол adc = eda следует, что у треугольника aed равны два угла: угол adc = угол eda = угол adb.

То есть, получается, что угол adb = угол adc, что приводит к равенству длин отрезков da = db.