Question

Знайдіть периметр рівнобедренного трикутника, якщо радіус вписаного в ноього кола = 12см, а описаного - 25см?

Answer 1

В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, R=ВО1=25 см, r=МО2=12 см.
С заданными параметрами R и r можно построить два равнобедренных тр-ка, в одном из которых угол при вершине будет меньше шестидесяти градусов, а в другом - больше. Действительно, только в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, а в нашем, равнобедренном треугольнике, они расположены отдельно, и лежат на высоте, проведённой к основанию.
Для обоих треугольников расстояние между центрами вписанной и описанной окружности можно вычислить по формуле Эйлера:
d²=R²-2Rr, где d=О1О2.
d²=25²-2·25·12=25,
d=5 см.
Пусть АС=а, АВ=ВС=b.
Из формулы S=abc/2R имеем при а=b:
S=b²с/2R ⇒ b²=2RS/c.
Также S=ch/2, значит 
b²=2Rch/(2c)=2Rh.
Рассмотрим два варианта отдельно.
1) ∠В<60°, тогда h>R+r.
h=ВМ=ВО1+О1О2+МО2=R+d+r=25+5+12=42.
b²=2·25·42=2100,
b=10√21 см.
В тр-ке АВМ АМ=√(АВ²-ВМ²)=√(2100-42²)=√336=4√21.
Периметр АВС: Р=2(АВ+АМ)=2(10√21+4√21)=28√21 см - это ответ.
2) ∠В>60°, тогда h<R+r. 
Так как d<r или О1О2<МО2, то центр описанной окружности лежит внутри треугольника АВС.
h=ВМ=ВО1+МО2-О1О2=R+r-d=25+12-5=32 cм.
b²=2·25·32=1600,
b=40 см.
В тр-ке АВМ АМ=√(АВ²-ВМ²)=√(40²-32²)=24 см.
Периметр АВС=2(АВ+АМ)=2(40+24)=128 см - это ответ. 

Answer 2

Давайте обозначим стороны рівнобедренного трикутника через \( a \), а відстань від вершини до основи (висоту) позначимо як \( h \).

За властивостями вписаного та описаного кола для рівнобедренного трикутника, можна скласти наступні рівняння:

1. Для вписаного кола:

\[ r = 12 \, \text{см} \]

2. Для описаного кола:

\[ R = 25 \, \text{см} \]

Також, відомо, що в равнобедренном трикутнику висота є медіаною і відсікає основу на дві рівні частини.

Оскільки медіана ділить трикутник на дві рівні частини, то можемо сказати, що довжина половини основи трикутника (половина основи - \( \frac{a}{2} \)) дорівнює радіусу вписаного кола \( r \):

\[ \frac{a}{2} = 12 \, \text{см} \]

Звідси знаходимо довжину основи трикутника \( a \):

\[ a = 2 \times 12 = 24 \, \text{см} \]

Тепер, за відомою стороною та висотою можна знайти площу трикутника:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times h \]

А висота \( h \) може бути знайдена за теоремою Піфагора для одного з прямокутних трикутників, що утворюються медіаною та половиною основи:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Підставимо значення \( a \) та \( \frac{a}{2} \) та знайдемо \( h \). Потім підставимо \( a \) та \( h \) в формулу для площі \( S \). Наостанок, периметр трикутника \( P \) буде рівний сумі сторін трикутника:

\[ P = a + a + \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Розрахуємо ці значення.