Question

Длина описанной около правильного шестиугольника окружности равна 2пи. найдите площадь вписанного в него круга.

Answer 1

C=2·(pi)·R²  ⇒  R²= c / (2·pi ) = 2 pi )/ 2 pi = 1     ⇒  R²=1   ⇒ R =1

 В  правильном  шестиугольнике  R = a ,  r = (a·√3)/2 =( R·√3)/2
S = pi  ·r² = pi·((R·√3)/2)² = pi·(√3/2)²=3/4 pi

Answer 2

Для начала, давайте определим, что такое правильный шестиугольник. Правильный шестиугольник — это такой многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой. В правильном шестиугольнике у каждого угла равна 120 градусам.

Теперь давайте рассмотрим описанную окружность вокруг правильного шестиугольника. Когда описанная окружность касается всех вершин шестиугольника, её диаметр равен длине стороны шестиугольника.

Дано, что длина описанной около правильного шестиугольника окружности равна \(2\pi\). Следовательно, диаметр этой окружности (или длина стороны шестиугольника) равен \(2\pi\).

Теперь, чтобы найти радиус вписанного в правильный шестиугольник круга, мы можем воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности в правильном шестиугольнике:

\[ R_{\text{вписанного круга}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}, \]

где \( a \) - длина стороны правильного шестиугольника.

Подставим \( a = 2\pi \):

\[ R_{\text{вписанного круга}} = \frac{2\pi}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}}. \]

Теперь, когда у нас есть радиус вписанного круга, можем найти его площадь. Площадь круга вычисляется по формуле:

\[ S_{\text{вписанного круга}} = \pi \cdot R_{\text{вписанного круга}}^2. \]

Подставим значение радиуса:

\[ S_{\text{вписанного круга}} = \pi \cdot \left( \frac{\pi}{\sqrt{3}} \right)^2. \]

Вычислим это выражение:

\[ S_{\text{вписанного круга}} = \pi \cdot \frac{\pi^2}{3} = \frac{\pi^3}{3}. \]

Таким образом, площадь вписанного в правильный шестиугольник круга равна \(\frac{\pi^3}{3}\).