Question

1. Длина медианы CM треугольника АВС равна 5 см. Окружность с диаметром СМ пересекает стороны АС и BC в их серединах. Найдите периметр треугольника АВС, если его площадь равна 24см2.

Answer 1

Пусть К - середина АС, Р - середина ВС. Ясно, что КР - стредняя линяя, то есть она поделит и медиану СМ пополам, то есть хорда проходит через центр окружности. Поэтому СМ и КР - диаметры окружности, и угол ВСА прямой.

Итак, в прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ = 2*СМ = 10; площадь S = 24; надо найти периметр. Пусть а и b - катеты;

a^2 + b^2 = 10^2;

a*b = 48;

Куча способов решения, например такой

 

(a + b)^2 = 196;

(a - b)^2 = 4;

a + b = 14;

a - b = 2;

ответ a = 6; b = 8;

периметри 6 + 8 + 10 = 24

 

Answer 2

Итак, у нас есть треугольник ABC, в котором длина медианы CM равна 5 см. Окружность с диаметром CM пересекает стороны AC и BC в их серединах.

Площадь треугольника можно выразить через длину медианы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot h,\]

где S - площадь треугольника, CM - длина медианы, h - высота, проведенная к этой медиане.

Мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 24 см²:

\[24 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot h.\]

Отсюда можно найти высоту h:

\[h = \frac{24 \cdot 2}{5} = 9.6 \text{ см}.\]

Теперь, когда мы знаем высоту, можем использовать формулу для площади треугольника через стороны:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h,\]

где AB - основание треугольника.

Площадь треугольника ABC:

\[24 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 9.6,\]

Отсюда найдем основание AB:

\[AB = \frac{24 \cdot 2}{9.6} = 5 \text{ см}.\]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника ABC, нам нужно найти длины всех его сторон. Так как известны длины медиан и их точки пересечения с окружностью, можем использовать свойство медианы:

Длина медианы равна двум третьим от длины сегмента, на который она делит сторону треугольника. Таким образом:

\[AM = \frac{2}{3} \cdot CM = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} \text{ см},\] \[BM = \frac{2}{3} \cdot CM = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3} \text{ см}.\]

Так как AM и BM это половины сторон треугольника, можем найти длины сторон AC и BC:

\[AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \text{ см},\] \[BC = 2 \cdot BM = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \text{ см}.\]

Теперь найдем третью сторону треугольника AB:

\[AB = AC - BC = \frac{20}{3} - \frac{20}{3} = 0.\]

Получаем, что одна из сторон треугольника имеет нулевую длину, что не является возможным в случае обычного треугольника. Это означает, что изначальные данные не соответствуют обычному треугольнику. Вероятно, была допущена ошибка в условии задачи.