Question

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 24 см. Через середину высоты, опущенной на его основание, проведена прямая, параллельная боковой стороне, до пересечения с двумя другими сторонами треугольника. Найдите ее отрезок, заключенный в треугольнике.

Answer 1

Если провести прямую параллельно проведенной прямой, но через "конец" высоты, то есть через середину основания, то это будет средняя линяя треугольника, параллельная боковой стороне. Она будет равна 24/2 = 12. А искомый отрезок - это средняя линяя в трапеции, у которой основания - боковая сторона (длины 24) и параллельная ей средняя линяя треугольника (длины 12).Его длина очевидно равна (24 + 12)/2 = 18  

Answer 2

Пусть АВС - равнобедренный треугольник, где AB = AC = 24 см.

Пусть H - высота треугольника, опущенная из вершины A на основание BC.

Так как треугольник АВС равнобедренный, то высота H является медианой и делит основание BC пополам.

Поэтому точка М, являющаяся серединой высоты H, будет также являться серединой основания BC.

Проведем прямую, параллельную боковой стороне AC, через середину высоты H. Пусть точка пересечения этой прямой с боковой стороной AB обозначается как D, а с боковой стороной BC - как E.

Так как М - середина основания BC, то отрезок ME будет равен отрезку MD.

Треугольники АМD и АМЕ являются подобными, так как у них углы МАD и МАЕ прямые (так как прямая DE параллельна стороне AC), а углы АМД и АМЕ равны, так как точка М является серединой отрезка АС (по свойству медианы).

Отсюда, отношение длин отрезков MD и ME равно отношению длин сторон АМ и АЕ.

Так как АМ = 12 см (половина основания), а АЕ = 24 см (боковая сторона), то отношение MD/ME = 12/24 = 1/2.

Значит, отрезок MD равен половине отрезка ME.

Так как MD = ME/2, а ME = MD + DE, то MD = (ME/2) = ((MD + DE)/2).

Решим это уравнение относительно MD:

MD = (MD + DE)/2 2MD = MD + DE MD = DE

То есть отрезок MD равен отрезку DE.

Ответ: отрезок, заключенный в треугольнике и проведенный через середину высоты, равен отрезку MD = DE.