Question

В окружности с центорм О проведены диаметры АB и МN. Докажите что хорды АМ и BN равны. Заранее спасибо

Answer 1

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.  т.е надо доказать что MO*ON=AO*OB

Answer 2

Конечно, давайте разберём это!

Для начала, вспомним определения хорды и диаметра окружности:

- Диаметр окружности - это отрезок, проходящий через центр окружности и состоящий из двух равных хорд. - Хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Теперь, представим, что у нас есть окружность с центром в точке \(О\). Проведены диаметры \(AB\) и \(MN\).

Так как \(AB\) и \(MN\) - диаметры, они равны между собой и проходят через центр окружности \(О\).

Теперь рассмотрим треугольники \(AOM\) и \(BON\). У этих треугольников:

1. \(\angle AOM\) и \(\angle BON\) - прямые углы, так как они лежат на диаметрах \(AB\) и \(MN\) соответственно (свойство окружности, что угол, стоящий на диаметре, равен 90 градусам). 2. Сторона \(AM\) равна стороне \(BN\) - они обе являются радиусами окружности и равны между собой. 3. Сторона \(AO\) равна стороне \(BO\) - это радиусы одной и той же окружности и равны между собой.

Исходя из этих фактов, у треугольников \(AOM\) и \(BON\) две стороны равны, а угол между ними - прямой. Это значит, что данные треугольники равны по стороне-угол-стороне (СУС).

Таким образом, хорды \(AM\) и \(BN\) равны между собой.

Это доказывает, что если в окружности проведены диаметры \(AB\) и \(MN\), то соединяющие концы этих диаметров хорды \(AM\) и \(BN\) будут равны.