Question

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ACB с катетами AC = 3 и BC = 4, а высотой пирамиды является отрезок SC = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из площади двух прямоугольных треугольников и площади третьей грани, длину ребер которой мы не знаем.
Найдем высоту СН основания пирамиды.  
Гипотенузаегипетского треугольника АВС основания пирамиды равна 5 ( можно проверить по т. Пифагора)
Выразим высоту из треугольников АСН и СВН
Пусть АН=х, тогда ВН=5-х
СН²=АС²-АН²
СН²=ВС²-(5-х)²
Приравняем оба выражения СН²
АС²-АН²=ВС²-(5-х)²
9-х²=16-25+10х-х²
10х=18
х=1,8
СН²=АС²-АН²=9-3,24=5,76

Найдем по т.Пифагора высоту треугольника ASB
SH²=SC²+CH²=25+5,76=30,76
SH=√30,76= ≈ 5,55
S ASB=5·5,55:2=13,875
S ASC=5·3:2=7,5
S BSC=5·4:2=10
Sбок=13,75+7,5+10=≈31,375

Answer 2

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, нужно вычислить площади треугольников, образующих боковые грани пирамиды.

Для начала рассмотрим треугольник ABC, который является основанием пирамиды. По условию задачи известно, что он прямоугольный с катетами \(AC = 3\) и \(BC = 4\). Мы можем найти гипотенузу этого треугольника, применив теорему Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\] \[AB^2 = 3^2 + 4^2\] \[AB^2 = 9 + 16\] \[AB^2 = 25\] \[AB = \sqrt{25}\] \[AB = 5\]

Теперь у нас есть длины всех сторон основания треугольной пирамиды: \(AB = 5\), \(AC = 3\), и \(BC = 4\).

Далее, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно найти площадь всех боковых треугольников и сложить их.

Так как треугольник ABC является прямоугольным, то боковые грани пирамиды будут треугольниками SAB, SBC и SAC.

Площадь треугольника можно вычислить, зная длины его сторон, используя формулу Герона для треугольника, образованного сторонами \(SA\), \(SB\) и \(AB\):

\[S = \sqrt{p(p - SA)(p - SB)(p - AB)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, который можно найти как половину суммы длин его сторон:

\[p = \frac{SA + SB + AB}{2}\]

Найдем длины сторон боковых треугольников:

1. \(SA = SC = 5\) 2. \(SB = AB = 5\) 3. \(AB = 5\)

Теперь найдем площадь каждого бокового треугольника, используя формулу Герона:

\[p = \frac{5 + 5 + 5}{2} = \frac{15}{2} = 7.5\]

\[S = \sqrt{7.5(7.5 - 5)(7.5 - 5)(7.5 - 5)}\] \[S = \sqrt{7.5 \cdot 2.5 \cdot 2.5 \cdot 2.5}\] \[S = \sqrt{46.875}\] \[S \approx 6.85\]

Таким образом, площадь одной боковой поверхности пирамиды равна приблизительно \(6.85\). Чтобы найти общую площадь боковой поверхности, нужно умножить это значение на количество боковых поверхностей пирамиды, которых три:

\[6.85 \times 3 = 20.55\]

Итак, площадь боковой поверхности треугольной пирамиды \(SABC\) равна примерно \(20.55\) квадратных единиц.