Question

Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна к боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно a.

Answer 1

Если диагональ трапеции перпендикулярна его боковой стороне и делит острый угол пополам то 
углы данной трпации  равны 60°и 120°
большее основани в два раза больше меньшего основания =2a
меньшее основание равно боковой стороне =а
Значит можем найти высоту трапеции 
h=a*sin60=a*(√3)/2 
S=(a+2a)/2*a*√3/2=(a²3√3)/4

Answer 2

Давайте рассмотрим трапецию с биссектрисой острого угла. Пусть \( AB \) и \( CD \) - основания трапеции, \( AD \) и \( BC \) - боковые стороны, \( AC \) - диагональ, \( M \) - точка пересечения биссектрисы и боковой стороны \( BC \). Также, пусть \( h \) - высота трапеции относительно боковой стороны \( BC \).

Согласно условию, диагональ \( AC \) является биссектрисой острого угла трапеции. Это означает, что треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle BAC \) подобны. Также, по условию, диагональ \( AC \) перпендикулярна к боковой стороне \( BC \).

Пусть \( h_1 \) и \( h_2 \) - высоты треугольников \( \triangle ABD \) и \( \triangle BAC \) соответственно.

Используя подобие треугольников, можно записать отношение высот:

\[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{AC} \]

Так как диагональ \( AC \) является биссектрисой острого угла, \( AC \) делит \( BD \) на две равные части, то есть \( BD = \frac{1}{2}(AB + CD) \). Таким образом, можно выразить \( AB \) через \( BD \) и \( CD \):

\[ AB = 2BD - CD \]

Теперь подставим это в выражение для отношения высот:

\[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{2BD - CD}{AC} \]

Также, учитывая, что \( AC \) перпендикулярна к \( BC \), можно записать:

\[ AC^2 = h^2 + h_2^2 \]

Теперь давайте рассмотрим площадь трапеции. Площадь трапеции можно выразить как сумму площадей двух треугольников:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_2 \]

Теперь, используя ранее выведенные выражения для \( AB \), \( h_1/h_2 \) и \( AC^2 \), мы можем выразить площадь трапеции через известные величины:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (2BD - CD + CD) \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{h^2 + h_2^2} \cdot h_2 \]

\[ S = BD \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{h^2 + h_2^2} \cdot h_2 \]

Теперь у нас есть выражение для площади трапеции через \( BD \), \( h \) и \( h_2 \). Однако у нас нет явного выражения для \( BD \) через \( a \) (меньшее основание трапеции). Давайте выразим \( BD \) через \( a \):

\[ BD = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \]

\[ BD = \frac{1}{2} \cdot (a + CD) \]

Теперь мы можем выразить площадь трапеции через \( a \), \( h \) и \( h_2 \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot (a + CD) \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{h^2 + h_2^2} \cdot h_2 \right) \]

\[ S = \frac{1}{4} \cdot (a + CD) \cdot h + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{h^2 + h_2^2} \cdot h_2 \]

Теперь остается выразить \( h \) и \( h_2 \) через известные величины. Используя подобие треугольников \( \triangle ABD \) и \( \triangle BAC \), можно записать:

\[ \frac{h_1}{h_2} = \frac{AB}{AC} \]

\[ \frac{h}{h_2} = \frac{BD}{AC} \]

Отсюда можно выразить \( h_2 \) через \( h \), \( BD \) и \( AC \):

\[ h_2 = \frac{h \cdot AC}{BD} \]

Также, используя теорему Пифагора для треугольника \( \triangle BAC \), можно записать:

\[ AC^2 = h^2 + h_2^2 \]

\[ AC^2 = h^2 + \left( \frac{h \cdot AC}{BD} \right)^2 \]

Теперь мы можем выразить \( h \) через \( BD \) и \( AC \):

\[ h^2 = AC^2 - \left( \frac{h \cdot AC}{BD} \right)^2 \]

\[ h^2 = AC^2 \left(1 - \frac{h^2}{BD^2} \right) \]

\[ h^2 = \frac{AC^2 \cdot BD^2 - h^2 \cdot AC^2}{BD^2} \]

\[ h^2 \cdot BD^2 = AC^2 \cdot BD^2 - h^2 \cdot AC^2 \]

\[ h^2 \cdot BD^2 + h^2 \cdot AC^2 = AC^2 \cdot BD^2 \]

\[ h^2 \cdot (BD^2 + AC^2) = AC^2 \cdot BD^2 \]

\[ h^