Question

В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, медианы АЕ и СК пересекаются в точке М. ВМ=6, АС=10. Найдите площадь треугольника АВС

Answer 1

Треугольник АВС -равнобедренный поэтому,если продолжить  ВС , получим ВН -медиану и высоту

Менианы  точкой пересечения делятся в отношении 2:1 , НК =3. Тогда ВН=9

и площадь треугольника АВС=(1/ 2)*ВН*АС=(1/2)*9*10=45

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Также известно, что медианы AE и CK пересекаются в точке M. Значит, M - это центр масс треугольника ABC.

Мы знаем, что VM = 6, и AC = 10. Поскольку M - центр масс, отношение длины медианы к соответствующему отрезку боковой стороны равнобедренного треугольника равно 2:1.

Таким образом, AM = 2 * VM = 2 * 6 = 12.

Теперь, мы можем представить треугольник ABC как два прямоугольных треугольника: AMB и AMC.

Площадь треугольника AMB (по формуле для площади прямоугольного треугольника): \[ S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BM \]

Площадь треугольника AMC (аналогично): \[ S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot CM \]

Теперь сложим эти площади: \[ S_{ABC} = S_{AMB} + S_{AMC} \]

Подставим известные значения: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot BM + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot CM \]

Теперь обратим внимание на то, что BM и CM - это половины сторон AB и AC соответственно, так как M - центр масс. Таким образом, BM = \(\frac{1}{2} \cdot AB\) и CM = \(\frac{1}{2} \cdot AC\).

Подставим это в формулу: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB + \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \]

Упростим выражение: \[ S_{ABC} = 3 \cdot AB + 3 \cdot AC \]

Так как AB = BC, то можно заменить AB на BC: \[ S_{ABC} = 3 \cdot BC + 3 \cdot AC \]

Подставим известные значения BC = AB и AC: \[ S_{ABC} = 3 \cdot 10 + 3 \cdot 10 \]

Упростим: \[ S_{ABC} = 30 + 30 \]

\[ S_{ABC} = 60 \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 60 квадратным единицам.