Question

СРОЧНО:Известно, что треугольники подобны, и их площади относятся как 4/9. Как относятся их периметры?

Answer 1

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента
подобия.В данном случае это корень из 4/9, т.е. 2/9.Отношение периметров
равно коэффициенту подобия, Ответ - 2/9

Answer 2

Если треугольники подобны, то их стороны пропорциональны.

Пусть у первого треугольника стороны равны a, b и c, а у второго треугольника стороны равны ka, kb и kc, где k - коэффициент пропорциональности.

Площадь треугольника можно выразить через стороны по формуле Герона: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), где p - полупериметр треугольника (p = (a+b+c)/2).

Поскольку треугольники подобны, их площади относятся как 4/9: S_1/S_2 = 4/9.

Тогда можно записать соотношение для площадей через стороны: (sqrt(p_1(p_1-a)(p_1-b)(p_1-c)))/(sqrt(p_2(p_2-ka)(p_2-kb)(p_2-kc))) = 4/9.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (p_1(p_1-a)(p_1-b)(p_1-c))/(p_2(p_2-ka)(p_2-kb)(p_2-kc)) = 16/81.

Примем во внимание, что полупериметр p связан с сторонами треугольника следующим образом: p_2 = (ka + kb + kc)/2 = k(a + b + c)/2 = kp_1.

Упростим уравнение, заменив полупериметры: p_1(p_1-a)(p_1-b)(p_1-c)/(kp_1(kp_1-ka)(kp_1-kb)(kp_1-kc)) = 16/81.

p_1[p_1(p_1-a)(p_1-b)(p_1-c)]/[kp_1(kp_1-ka)(kp_1-kb)(kp_1-kc)] = 16/81.

Сократим p_1 и kp_1: (p_1-a)(p_1-b)(p_1-c)/[(kp_1-ka)(kp_1-kb)(kp_1-kc)] = 16/81.

Умножим обе части на [(kp_1-ka)(kp_1-kb)(kp_1-kc)]: (p_1-a)(p_1-b)(p_1-c) = (16/81)[(kp_1-ka)(kp_1-kb)(kp_1-kc)].

Раскроем скобки в правой части: (p_1-a)(p_1-b)(p_1-c) = (16/81)(k^3)(p_1-a)(p_1-b)(p_1-c).

Сократим общий множитель (p_1-a)(p_1-b)(p_1-c) и перенесем все в один из членов уравнения: (81-16(k^3))(p_1-a)(p_1-b)(p_1-c) = 0.

Уравнение имеет два решения: 1) 81 - 16(k^3) = 0. Тогда k = (81/16)^(1/3). Это решение говорит нам о том, что треугольники подобны и периметры относятся как (81/16)^(1/3):1. 2) (p_1-a)(p_1-b)(p_1-c) = 0. Это решение говорит о том, что площадь одного из треугольников равна нулю, а значит, этот треугольник вырожден и не имеет периметра.

Таким образом, если треугольники подобны и их площади относятся как 4/9, то отношение их периметров равно (81/16)^(1/3):1.