Question

А (3;2корень 3) В (а;0) иС (5;0).При каком значении а точки А,В и С будут являться вершинами прямоугольного треугольника

Answer 1

AC=(2;-2√3); AB(a-3;-2√3); CB(a-5;0)

Вычислим скалярные произведения получившихся векторов:

AC·AB=2(a-3)-2√3·(-2√3)=2a+6=0 при a=-3

AC·CB=2(a-5)-2√3·0=2(a-5)=0 при a=5- не годится, так как в этом случае точки B и C совпадают

AB·CB=(a-3)(a-5)=0 при a=3; a=5 -не годится

Ответ: a= - 3; a= 3

Замечание. Можно было бы решать геометрически

Answer 2

Чтобы точки \(A\), \(B\), и \(C\) образовывали прямоугольный треугольник, нужно, чтобы квадраты длин сторон треугольника удовлетворяли теореме Пифагора.

Пусть \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\), и \(C(x_3, y_3)\) — координаты точек \(A\), \(B\), и \(C\) соответственно.

Теорема Пифагора выражается уравнением:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

где \(AB\) — длина стороны от \(A\) до \(B\), \(BC\) — длина стороны от \(B\) до \(C\), \(AC\) — длина стороны от \(A\) до \(C\).

Координаты точек \(A(3, 2\sqrt{3})\), \(B(a, 0)\), и \(C(5, 0)\). Тогда длины сторон выражаются следующим образом:

\[AB^2 = (a - 3)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2\] \[BC^2 = (5 - a)^2 + (0 - 0)^2\] \[AC^2 = (5 - 3)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2\]

Подставим эти выражения в уравнение теоремы Пифагора:

\[(a - 3)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2 + (5 - a)^2 + (0 - 0)^2 = (5 - 3)^2 + (0 - 2\sqrt{3})^2\]

Раскрываем скобки и упрощаем уравнение:

\[(a - 3)^2 + 12 + (5 - a)^2 = 4\]

\[a^2 - 6a + 9 + 12 + a^2 - 10a + 25 = 4\]

\[2a^2 - 16a + 30 = 4\]

\[2a^2 - 16a + 26 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Выделим общий множитель 2:

\[2(a^2 - 8a + 13) = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение в скобках:

\[a^2 - 8a + 13 = 0\]

Используем дискриминант (\(D\)):

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = (-8)^2 - 4(1)(13)\]

\[D = 64 - 52\]

\[D = 12\]

Так как \(D > 0\), у нас есть два корня:

\[a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[a = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2}\]

\[a = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2}\]

\[a = 4 \pm \sqrt{3}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(a\): \(4 + \sqrt{3}\) и \(4 - \sqrt{3}\), при которых точки \(A\), \(B\), и \(C\) образуют прямоугольный треугольник.