Question

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Answer 1

Треугольник АВС, АС =12 ВМ =высота, медиана, биссектриса на АС, АМ=СМ=6

точка О - центр вписанной окружности в треугольник АВС - пересечение биссектрис треугольника, ОМ = радиус вписанной окружности

точка О1 = центр окружности с радиусом =8, проводим перпендикуляры О1К и О1Н в точки касания, проводим О1С и О1А, треугольники АМО1=треугольнику О1СМ по двум катетам АМ=СМ, О1М общий, треугольники О1СК =треугольнику О1СМ по гипотенузе О1С и катету О1К=О1М =радиусу, треугольник О1НА=треугольнику О1МА по катету и гипотенузе (аналогично), угол О1СМ=углу О1СК , угол СО1К=углу СО1М значит СО1 - биссектриса, СО - тоже биссектриса (см.выше). Биссектрисы внутреннего угла и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны, т.е угол ОСО1 =90 град. Треугольник ОСО1 - прямоугольный.

ОМ / СМ = СМ / О1М, ОМ / 6 = 6 / 8

36 = ОМ х 8, ОМ = 4,5

Answer 2

Обозначим через \(O\) центр окружности радиуса \(8\), касающейся продолжения боковых сторон треугольника \(ABC\) и касающейся основания \(AC\) в его середине.

Также пусть \(M\) будет серединой основания \(AC\), и \(R\) — радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\).

Треугольник \(ABC\) равнобедренный, следовательно, у него две равные стороны. Так как окружность касается продолжения боковых сторон треугольника, то точки касания будут симметричны относительно основания \(AC\). Таким образом, точка касания на левой стороне треугольника будет равноудалена от вершины \(A\) и точки \(M\). Аналогично для точки касания на правой стороне треугольника.

Теперь мы имеем равнобедренный треугольник \(AOB\), где \(OA = OB = 8\). Пусть \(X\) и \(Y\) — точки касания окружности с продолжениями сторон треугольника \(ABC\). Тогда \(AX = AY\) и \(BX = BY\).

Также, так как \(M\) — середина стороны \(AC\), то \(AM = MC\). Обозначим \(AM\) через \(h\).

Теперь мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник \(AXM\). У него известна гипотенуза \(AX = 8\) и катет \(AM = h\). Мы можем использовать теорему Пифагора:

\[XM = \sqrt{AX^2 - AM^2} = \sqrt{8^2 - h^2}.\]

Так как \(BX = BY = XM\), то \(BX = \sqrt{8^2 - h^2}\).

Теперь рассмотрим треугольник \(BMO\). Он равнобедренный, так как \(BM = BO\) и \(MO\) — общая сторона. Поэтому \(BO = BM = 8\).

Таким образом, мы можем записать равенство:

\[BX + BO = \sqrt{8^2 - h^2} + 8.\]

Теперь, зная, что \(BX + BO = AO = 8\), мы можем записать уравнение:

\[\sqrt{8^2 - h^2} + 8 = 8.\]

Решая это уравнение относительно \(h\), получаем:

\[\sqrt{8^2 - h^2} = 0.\]

Это уравнение имеет единственное решение \(h = 0\).

Таким образом, треугольник \(ABC\) вырожденный, и основание \(AC\) является отрезком длиной \(12\) между точками касания окружности с продолжениями боковых сторон треугольника. В таком случае, вписанная окружность также вырождена и радиус ее равен \(0\).