Question

В равнобокой трапеции ABCD проведена высота AH. Точка H делит сторону CD так, что CH в 3 раза больше, чем HD, и образует с боковой стороной AD угол, равный 30 градусам. Найдите длину боковой стороны и меньшее основание AB трапеции, если CD= 20 см

Answer 1

Из В тоже опустим высоту т.к.. Рассмотрим треугольник DAH. AD=2АН=10 как катет против уг в 30 Т.к . трпеция равнобоковая, то и КС=АН=5.   Отсюда НС=АВ=10

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

- \(AB\) и \(CD\) - основания трапеции, где \(CD = 20\) см (дано). - \(AH\) - высота трапеции. - \(CH\) и \(HD\) - отрезки, на которые высота \(AH\) делит основу \(CD\). - \(AD\) и \(BC\) - боковые стороны трапеции.

Мы знаем, что \(CH = 3 \cdot HD\) и угол \(\angle AHD = 30^\circ\).

Также, \(AH\) - это высота трапеции, и она является перпендикуляром к обеим основаниям, следовательно, \(\angle AHC = \angle AHD = 90^\circ\).

Из условия задачи мы видим, что треугольник \(AHD\) - прямоугольный с углом \(30^\circ\).

Теперь приступим к вычислениям. Обозначим \(HD = x\), тогда \(CH = 3x\).

Так как угол \(\angle AHD = 30^\circ\), мы можем использовать тригонометрический тангенс:

\[\tan(30^\circ) = \frac{HD}{AH}\]

\[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{AH}\]

\[AH = x \cdot \sqrt{3}\]

Теперь у нас есть выражение для \(AH\). Теперь рассмотрим треугольник \(AHC\). Мы можем использовать тригонометрический косинус:

\[\cos(30^\circ) = \frac{CH}{AH}\]

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3x}{x \cdot \sqrt{3}}\]

\[3 = \frac{3x}{\sqrt{3}}\]

\[x = \frac{\sqrt{3}}{3}\]

Теперь, найдем длину боковой стороны \(AD\):

\[AD = \sqrt{AH^2 + HD^2}\]

\[AD = \sqrt{(x \cdot \sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}\]

\[AD = \sqrt{3x^2 + \frac{1}{3}}\]

\[AD = \sqrt{3 \cdot \frac{3}{9} + \frac{1}{3}} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Теперь найдем длину меньшего основания \(AB\):

\[AB = CD - AD\]

\[AB = 20 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, длина боковой стороны \(AD\) равна \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\), а длина меньшего основания \(AB\) равна \(20 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\).