Question

Серединные перпендикуляры к сторонам АИ и АС треугольника АВС пересекутся в точке, лежащей на стороне ВС. Докажите, что ∠А = 90°.

Answer 1

Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной около него окружности.
Известно, что только в прямоугольном тр-ке центр описанной окружности лежит на одной из его сторон - гипотенузе, причём на её середине, так как он равноудалён от вершин треугольника.

Рассмотрим подробно.
Тр-ки АВР и АРС равнобедренные, т.к. РМ⊥АВ и РК⊥АС, ВМ=АМ и АК=КС, значит РМ и РК - высоты и медианы (признак равнобедренности тр-ка).
РМ и РК - биссектрисы тр-ков АВР и АРС, углы ВРА и АРС - смежные, значит РМ⊥РК.
Углы между соответственно перпендикулярными прямыми равны.
РМ⊥АВ, РК⊥АС, РМ⊥РК, значит АВ⊥АС ⇒ ∠А=90°.
Доказано.

Answer 2

Для доказательства того, что угол ∠А равен 90°, мы можем использовать свойства серединных перпендикуляров в треугольнике.

Шаг 1: Построение

Для начала построим треугольник АВС и его серединные перпендикуляры к сторон