Question

Треугольник C1O1E1 и COE подобны. Периметр треугольника C1O1E1 равен 112 см. Его стороны пропорциональны числам 5,6,3. Большая сторона треугольника COE равна 12 см. Вычислите отношение площадей треугольников COE и C1O1E1.

Answer 1

Решение во вложенном файле.

Answer 2

Давайте обозначим стороны треугольника \(C_1O_1E_1\) через \(a\), \(b\) и \(c\), а стороны треугольника \(COE\) через \(k \cdot a\), \(k \cdot b\) и \(k \cdot c\), где \(k\) - коэффициент пропорциональности.

Из условия известно, что периметр треугольника \(C_1O_1E_1\) равен 112 см:

\[a + b + c = 112\]

Также дано, что стороны пропорциональны числам 5, 6 и 3:

\[\frac{a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{3} = k\]

Отсюда можно выразить значения сторон через \(k\):

\[a = 5k, \quad b = 6k, \quad c = 3k\]

Большая сторона треугольника \(COE\) равна 12 см:

\[k \cdot c = 12\]

Подставим выражение для \(c\) и решим уравнение относительно \(k\):

\[k \cdot 3k = 12\]

\[3k^2 = 12\]

\[k^2 = 4\]

\[k = 2\]

Теперь мы знаем значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(k\), и можем вычислить стороны треугольника \(COE\):

\[COE: 10, 12, 6\]

Теперь вычислим площади треугольников \(C_1O_1E_1\) и \(COE\). Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(p = \frac{a + b + c}{2}\).

Для треугольника \(C_1O_1E_1\):

\[p_{C_1O_1E_1} = \frac{112}{2} = 56\]

\[S_{C_1O_1E_1} = \sqrt{56 \cdot (56 - 5) \cdot (56 - 6) \cdot (56 - 3)}\]

Аналогично для треугольника \(COE\):

\[p_{COE} = \frac{10 + 12 + 6}{2} = 14\]

\[S_{COE} = \sqrt{14 \cdot (14 - 10) \cdot (14 - 12) \cdot (14 - 6)}\]

Теперь вычислим отношение площадей:

\[\frac{S_{COE}}{S_{C_1O_1E_1}} = \frac{\sqrt{14 \cdot (14 - 10) \cdot (14 - 12) \cdot (14 - 6)}}{\sqrt{56 \cdot (56 - 5) \cdot (56 - 6) \cdot (56 - 3)}}\]

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

\[\sqrt{14 \cdot (14 - 10) \cdot (14 - 12) \cdot (14 - 6)} = \sqrt{14 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 8} = \sqrt{896}\]

\[\sqrt{56 \cdot (56 - 5) \cdot (56 - 6) \cdot (56 - 3)} = \sqrt{56 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 53}\]

Теперь найдем отношение:

\[\frac{\sqrt{896}}{\sqrt{56 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 53}} \approx \frac{29.932}{146.448} \approx 0.205\]

Ответ: Отношение площадей треугольников \(COE\) и \(C_1O_1E_1\) примерно равно 0.205.