Question

На стороне AC треугольника ABC отметили точку D такую, что угол ABD = углу C, AB=20cм, BC=28cм,AC=40cм. Найдите неизвестные стороны треугольника ABD.

Answer 1

Треугольники ABD и ABC подобны, т.к. у них угол ABD равен углу C, а угол A - общий. Коэффициент подобия равен k=AC/AB=40\20=2, AB/AD=k=2, значит 20\AD = 2, AD = 10

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC и треугольник ABD.

У нас есть следующие данные: 1. \(AB = 20 \, \text{см}\) 2. \(BC = 28 \, \text{см}\) 3. \(AC = 40 \, \text{см}\) 4. \(\angle ABD = \angle C\)

Мы хотим найти неизвестные стороны треугольника ABD.

Известно, что сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Мы можем воспользоваться этим свойством для вычисления угла BAC: \[\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB.\] Значит, \[\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - \arccos\left(\frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}\right).\]

Также, у нас есть, что \(\angle ABD = \angle C\).

Теперь у нас есть два угла в треугольнике ABD: \(\angle BAC\) и \(\angle ABD\). Мы можем использовать теорему синусов для вычисления сторон треугольника ABD.

Теорема синусов гласит: \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C},\] где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - противолежащие углы.

В треугольнике ABD у нас есть: \[ \frac{AB}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAC}, \] где \(BD\) - неизвестная сторона треугольника ABD.

Теперь, мы можем выразить \(\sin \angle ABD\) и \(\sin \angle BAC\) через стороны треугольника ABC, используя теорему синусов: \[ \sin \angle ABD = \sin \angle C = \frac{BC}{AC}, \] \[ \sin \angle BAC = \sin(180^\circ - \angle ABC - \angle ACB) = \sin(\angle ABC + \angle ACB) = \frac{BC}{AC}.\]

Теперь мы можем записать уравнение для \(BD\): \[ \frac{AB}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAC}, \] \[ \frac{AB}{\frac{BC}{AC}} = \frac{BD}{\frac{BC}{AC}}, \] \[ BD = \frac{AB}{BC} \cdot BC = AB. \]

Таким образом, сторона \(BD\) равна стороне \(AB\), то есть \(BD = 20 \, \text{см}\). Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника ABD.