Question

Свойства функции у=х2-2х-3

Answer 1

Это квадратичная функция так как имеет вид $y=ax^2+bx+c$ , следовательно ее график - парабола. Коэффициент a - положителен, следовательно ветви параболы обращены вверх ("Восхвалим солнце!" , мини шутка) и вершина является минимумом функции.
Следовательно:
$D(y)=(-\infty,+\infty)$ - функция определена на всей вещественной оси икс.

Найдем вершину:
$x=- \frac{b}{2a} =1$
$y=1^2-2*1-3=1-2-3=-4$

Т.е. вершина имеет координаты:
$(1;-4)$ - минимум.

А значит, область значений:

$E(y) = [-4,+\infty)$

Найдем нули функции:

$x^2-2x-3 =0 \\ \sqrt{D} = \sqrt{4+12}=4\\x_{1,2}= \frac{2\pm 4}{2}=3,-1$

Промежутки знакопостоянства:

Зная нули функции, отметим данные значения на координатной прямой. Имеем 3 интервала, с их знаками:
$(-\infty,-1] =+$
$[-1,3]=-$
$[3,+\infty)=+$

Следовательно:
$f(x) \geq 0 \rightarrow (-\infty,-1]\cup [3,+\infty)$

$f(x)\ \textless \ 0 \rightarrow [-1,3]$

Так как минимумом является вершина , то имеем следующие промежутки монотонности:
$(-\infty,1]$  функция монотонно убывает. 
$[1,+\infty)$ функция монотонно возрастает.

Answer 2

Функция у = х^2 - 2х - 3 является квадратичной функцией. Давайте рассмотрим ее свойства подробнее:

1. Домен функции: Домен функции - это множество всех допустимых значений переменной х. Для данной квадратичной функции, домен является множеством всех вещественных чисел, так как любое вещественное число может быть подставлено вместо х.

2. Область значений: Область значений функции - это множество всех возможных значений у при заданных значениях х. Для данной функции, область значений также является множеством всех вещественных чисел. Это связано с тем, что у нас квадратичная функция, которая может принимать любое вещественное значение.

3. Вершина параболы: Вершина параболы является особой точкой на графике функции, которая имеет наибольшее или наименьшее значение в зависимости от ветвей параболы. Для данной функции, вершина параболы может быть найдена с помощью формулы x = -b / (2a), где а и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае, а = 1 и b = -2. Подставим эти значения в формулу и найдем x-координату вершины: x = -(-2) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1. Чтобы найти y-координату вершины, подставим значение x = 1 в уравнение функции: y = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4. Таким образом, вершина параболы находится в точке (1,