Question

Как можно доказать, что любой из катетов всегда больше высоты?

Answer 1

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, ∠С = 90°. Из вершины угла С проведем высоту, перпендикулярную к стороне АВ

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKB

BC - гипотенуза, CK - катет. по определению гипотенуза больше катета, значит CK < BC

Аналогично для прямоугольного треугольника AKC: AC - гипотенуза, значит CK < AC

Answer 2

Для доказательства того, что любой из катетов всегда больше высоты, рассмотрим прямоугольный треугольник.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Предположим, что H - высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

Воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть AC^2 = AB^2 + BC^2.

Теперь рассмотрим высоту H. Она является катетом прямоугольного треугольника CHB. По теореме Пифагора имеем CH^2 = CB^2 + BH^2.

Поскольку AC > CH (гипотенуза всегда больше катета), то AC^2 > CH^2. Подставляя значения из предыдущих равенств, получаем AB^2 + BC^2 > CB^2 + BH^2.

Заметим, что AB^2 > CB^2 и BC^2 > BH^2, так как AB и BC - катеты, а CB и BH - отрезки внутри треугольника. Поэтому AB^2 + BC^2 > CB^2 + BH^2.

Итак, мы получили, что AC^2 > CH^2, что означает, что гипотенуза всегда больше высоты.

Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов всегда больше высоты.