Question

СРОЧНО! Пожалуйста!!! Медиана прямоугольного треугольника,проведенная к гипотенузе,разбивает его на два треугольника.Докажите,что площади этих треугольников равны.

Answer 1

Медиана любого треугольника разбивает его на два, равных по площади.Треугольник АВС, СМ - медиана к АВ.Если внимательно посмотреть на эти два треугольника, можно увидеть, что их площади вычисляются как АМ*h/2 и МВ*h/2, где АМ = МВ, а h - РАССТОЯНИЕ от вершины С до АВ.Поскольку СМ - медиана, то АМ = МВ, и площади треугольников АМС и ВМС равны.

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где AC - гипотенуза, а M - середина гипотенузы. Проведем медиану AM к гипотенузе BC. Теперь у нас есть два треугольника: AMC и BMC.

Докажем, что эти треугольники имеют равные площади.

1. Середина гипотенузы: Поскольку M - середина гипотенузы, то BM = MC.

2. Общая сторона: Сторона AM общая для обоих треугольников.

3. Углы: Углы AMB и CMA оба прямые, так как AM - медиана. Углы BAM и CAM равны, так как AM делит угол BAC пополам.

Итак, треугольники AMC и BMC подобны по стороне-углу-стороне (по критерию подобия треугольников).

Таким образом, соответствующие высоты треугольников также пропорциональны соответствующим сторонам, что означает, что площади треугольников равны.

Таким образом, \(S_{\triangle AMC} = S_{\triangle BMC}\).