Question

Окружность радиуса 1 вписана в угол величиной 60o. Далее вписаны еще 62 окружности. При этом, окружность касается (для от 2 до 63). Известно, что никакие две окружности не свпадают. Вычислите произведение радиусов.

Answer 1

Рисунок и начало решения смотри в файле, потом возвращайся сюда.

итак , здесь мы можем вывести рекуррентную формулу
..............................
r4=2*(r3+r2+3)
r5=2*(r4+r3+r2+3)
...........................
r63=2*(r62+....+r2+3)

но, как я сказал ранее, мы не будем заморачиваться , а просто выведем закономерность

мы получили
r1=1
r2=3
r3=9
r4=27
r5=81
или запишем по-другому
r1=3⁰
r2=3¹
r3=3²
r4=3³
r5=3⁴
.................
r₆₂=3⁶¹
r₆₃=3⁶²

перемножая радиусы , получаем
r₁*r₂*r₃*r₄*.......*r₆₂*r₆₃=3⁰ * 3¹ * 3² * 3³ *......* 3⁶¹ * 3⁶²=3⁽⁰⁺¹⁺²⁺³⁺   ⁺⁶¹⁺⁶²)

степень - сумма чисел от 1 до 62, т.е. арифметическая прогрессия, сумма которой равна (высчитывается по формуле арифметической прогрессии) и =  1953

а произведение радиусов = 3¹⁹⁵³

Answer 2

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Так как она вписана в угол величиной 60 градусов, то каждая из 62 оставшихся окружностей будет касаться сторон этого угла. Так как окружности не пересекаются и не совпадают, то все окружности будут одинаково расположены относительно центра угла и друг друга.

Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются центры трех последовательных окружностей. Он равносторонний, так как радиусы всех окружностей одинаковы и они касаются друг друга. Пусть длина стороны этого треугольника равна a.

Так как угол величиной 60 градусов делит весь круг на 6 равных углов, то каждый из этих углов будет составлять 360/6 = 60 градусов.

В треугольнике ABC с равносторонними сторонами длины a, углы при основании равны 60 градусам. Следовательно, каждый из углов треугольника ABC равен 180 - 60 - 60 = 60 градусов.

Таким образом, треугольник ABC является равносторонним и равноугольным, а значит, он правильный. Длина его стороны a равна r + r + r = 3r.

Так как треугольник ABC равносторонний, то его высота является медианой и делит сторону a пополам. Поэтому, высота треугольника равна a/2 = (3r)/2.

Высота треугольника также является радиусом окружности, вписанной в угол величиной 60 градусов. Поэтому, r = (3r)/2.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: (3r)/2 - r = 0.

Упростим выражение: (r)/2 = 0.

Таким образом, получаем уравнение r = 0.

Очевидно, что радиус не может быть равен нулю, поэтому данная задача не имеет решения.

Ответ: произведение радиусов не определено.