Question

2.54. В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB1 и CC1 на прямую, проходящую через точку A. Докажите, что DABC ~ DHB1C1. ПОМОГИТЕ

Answer 1

Четырехугольник BB1AH имеет два прямых угла. Поэтому можно построить окружность на AB, как на диаметре, и точки B1 и H попадут на эту окружность.
Это означает, что углы HBA и HB1A вписанные и опираются на дугу AH этой окружности, то есть они равны.
Точно также можно рассмотреть четырехугольник AC1CH и доказать равенство углов HCA и HC1A.
(То есть AH является общей хордой двух окружностей, построенных на AB и AC, как на диаметрах, и каждая из точек B1 и C1 лежит на одной из них)
Получилось, что у треугольников ABC и HB1C1 углы равны (по крайней мере два :))) ). То есть они подобны.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle H B_1 C_1 \), давайте рассмотрим следующую ситуацию.

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle H B_1 C_1 \):

- Вершина \( A \) треугольника \( \triangle ABC \) соответствует вершине \( H \) треугольника \( \triangle H B_1 C_1 \). - Угол \( \angle A \) треугольника \( \triangle ABC \) соответствует углу \( \angle H \) треугольника \( \triangle H B_1 C_1 \) (по построению высоты). - Также, угол \( \angle B \) треугольника \( \triangle ABC \) соответствует углу \( \angle B_1 \) треугольника \( \triangle H B_1 C_1 \) (по перпендикулярам).

- Аналогично, угол \( \angle C \) треугольника \( \triangle ABC \) соответствует углу \( \angle C_1 \) треугольника \( \triangle H B_1 C_1 \).

2. Таким образом, по теореме о подобии треугольников по двум углам (AA):

- Углы \( \angle A \), \( \angle B \), \( \angle C \) треугольника \( \triangle ABC \) соответственно равны углам \( \angle H \), \( \angle B_1 \), \( \angle C_1 \) треугольника \( \triangle H B_1 C_1 \).

3. Следовательно, треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle H B_1 C_1 \) подобны.

Таким образом, мы доказали подобие треугольников \( \triangle ABC \) и \( \triangle H B_1 C_1 \).