Question

хорды AB и AC окружности пересекаются в точке K. AK : KB = 1 : 3, CD = 20 см, DK на 4 см меньше CK. Найдите AK

Answer 1

т.к.CD = 20 см, DK на 4 см меньше CK,то СК=12,DК=8,

т.к.AK : KB = 1 : 3,СК=12,DК=8,то 4х^2=12*8

х^2=24

х=2$\sqrt{6}$

AK=2$\sqrt{6}$,KB=6$\sqrt{6}$

 

 

 

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством пересекающихся хорд окружности. Если две хорды AB и AC пересекаются в точке K, то произведение отрезков этих хорд равно между ними:

\[AK \cdot KB = CK \cdot DK.\]

У нас известно, что \(AK : KB = 1 : 3\). Пусть \(AK = x\), тогда \(KB = 3x\). Также, по условию, \(CD = 20\) см, и \(DK\) на 4 см меньше \(CK\), то есть \(CK = DK + 4\).

Теперь можем записать уравнение, используя свойство хорд:

\[x \cdot 3x = (DK + 4) \cdot DK.\]

Раскроем скобки:

\[3x^2 = DK^2 + 4DK.\]

Теперь у нас есть уравнение, в котором одна переменная (\(DK\)), и мы можем решить его. Помним, что \(CK = DK + 4\). Подставим это значение:

\[3x^2 = (CK - 4)^2 + 4(CK - 4).\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[3x^2 = CK^2 - 8CK + 16 + 4CK - 16.\]

\[3x^2 = CK^2 - 4CK.\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[3x^2 = DK^2 + 4DK,\]

\[3x^2 = CK^2 - 4CK.\]

Мы видим, что оба уравнения равны \(3x^2\). Так как \(x\) не может быть равен нулю (так как отношение \(AK : KB\) задано как \(1 : 3\)), мы можем сократить на \(3x\):

\[DK^2 + 4DK = CK^2 - 4CK.\]

Теперь объединим все члены в одно уравнение:

\[DK^2 + 4DK - CK^2 + 4CK = 0.\]

Упростим:

\[DK^2 - CK^2 + 4DK + 4CK = 0.\]

Разложим по сумме разностей квадратов:

\[(DK - CK)(DK + CK) + 4(DK + CK) = 0.\]

Вынесем общий множитель:

\[(DK + CK)(DK - CK + 4) = 0.\]

Так как \(DK\) не может быть равен \(-CK\), так как это отрицательная длина, то \(DK + CK\) не может быть равно нулю. Таким образом, у нас остается:

\[DK - CK + 4 = 0.\]

Подставим \(CK = DK + 4\):

\[DK - (DK + 4) + 4 = 0.\]

Упростим:

\[DK - DK - 4 + 4 = 0.\]

\[0 = 0.\]

Это верное утверждение, что логично, так как у нас было два уравнения, и мы выразили их как одно. Это означает, что у нас есть бесконечное множество решений для \(DK\), что соответствует бесконечному множеству точек пересечения хорд. Это логично, учитывая, что хорды могут пересекаться в любой точке на окружности.

Таким образом, задача не имеет единственного решения. Любое значение \(DK\), удовлетворяющее условиям задачи, будет верным ответом.