Question

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3,а боковые рёбра равны 8.Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.

Answer 1

искомое сечение -  симметричный четырехугольник  BPKL

диагонали  PL , BK  пересекаются под углом 90 град

по условию

стороны основания  AB=BC=CD=AD =3

боковые ребра  MA=MB=MC=MD =8

точка К - середина ребра MD ;  KD = MD /2 = 8/2=4

ABCD -квадрат

диагональ  AC = BD =  3√2

пересечение диагоналей  точка  F  :  BF =FD = BD/2 =3√2 /2 =1.5√2

BK - медиана треугольника  MBD

длина медианы  BK = 1/2 √(2 BM^2 +2 BD^2  - MD^2 ) =1/2 √(2*8^2 +2*(3√2)^2  - 8^2 ) =5

по теореме косинусов

cos KBD = ( KD^2 - (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 - (5^2+(3√2)^2) )/ (-2*5*3√2)= 9/(10√2)

MF - высота

треугольник  EBF - прямоугольный

BE = BF / cos KBD = 1.5√2 / [ 9/(10√2)] = 10/3

по теореме Пифагора EF =√(BE^2 - BF^2) =√( (10/3)^2 - (1.5√2)^2) =√238/6

MF - высота

треугольник  MFB - прямоугольный

по теореме Пифагора MF =√( MB^2 -BF^2) =√( 8^2- (1.5√2)^2 ) =√238/2

ME =MF -EF =√238/2- √238/6= √238/3

треугольники  MPL  ~ MCA    подобные

PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 3√2 * √238/3 /√238/2 =2√2

площадь   сечения(четырехугольника  BPKL)     

Sс = PL*BK *sin<BEP /2 = 2√2*5*sin90 /2 = 5√2         

Ответ  5√2

Answer 2

Дано: - Вершина пирамиды: M - Основание пирамиды: ABCD (четырёхугольник) - Стороны основания: AB = BC = CD = DA = 3 - Боковые рёбра: MA = MB = MC = MD = 8

Нахождение точки пересечения плоскости с пирамидой

Задача состоит в нахождении площади сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC. Для начала, найдем точку пересечения этой плоскости с пирамидой.

Поскольку плоскость параллельна ребру MD и проходит через середину этого ребра, то она также делит ребро на две равные части. Таким образом, точка пересечения плоскости с ребром MD будет находиться в середине этого ребра.

Теперь рассмотрим треугольник BMD. У нас есть следующие данные: - Длина ребра BM: MB = 8 - Длина ребра MD: MD = 8

Так как точка пересечения плоскости находится в середине ребра MD, то BM будет равно половине длины MD. То есть, BM = MD / 2 = 8 / 2 = 4.

Таким образом, точка пересечения плоскости с пирамидой будет находиться на ребре BM в точке, отстоящей от вершины M на расстояние 4.

Нахождение площади сечения пирамиды

Теперь, когда мы знаем точку пересечения плоскости с пирамидой, можем найти площадь сечения.

Сечение пирамиды плоскостью является фигурой, образованной пересечением пирамиды и плоскости. В данном случае, сечение будет иметь форму прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник, образованный точками B, M и двумя точками на сторонах основания пирамиды AB и BC, которые находятся на одинаковом расстоянии от точки B (так как плоскость параллельна прямой AC).

Так как стороны основания пирамиды AB и BC равны, а точка пересечения сечения находится на ребре BM, то прямоугольник будет иметь следующие размеры: - Длина прямоугольника: AB = BC = 3 - Ширина прямоугольника: BM = 4

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника, которая будет являться площадью сечения пирамиды.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины и ширины: Площадь сечения = AB * BM = 3 * 4 = 12

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, равна 12.