Question

Две стороны треугольника равны 2 и 2√15, а медиана третьей стороны равна 4. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Половина длины стороны, к которой построена медиана = x
Острый угол между медианой и этой стороной = f
Тогда теорема косинусов для двух треугольников, на которые медиана бьёт исходный даёт систему из двух уравнений
2²=x²+4²-2·x·4·cos (f)
2²·15=x²+4²-2·x·4·cos (180°-f)
---
4=x²+16-8·x·cos(f)
60=x²+16+8·x·cos(f)
---
-12=x²-8·x·cos(f)
44=x²+8·x·cos(f)
Сложим два уравнения
44-12=2x²
16=x²
x=4
Т.е. исходный треугольник имеет стороны 2, 8, 2√15
Найдём его площадь по формуле Герона

$p=\frac {a+b+c}{2} = \frac {2+8+2\sqrt{15}}{2} = 5+\sqrt{15}\\ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\\ =\sqrt{(5+\sqrt{15})*(3+\sqrt{15})*(-3+\sqrt{15})*(5-\sqrt{15})}=\\ =\sqrt{(5^{2} -\sqrt{15}^{2})*(\sqrt{15}^{2}-3^{2})}=\\ =\sqrt{(25-15)*(15-9)}=\sqrt{10*6}=\sqrt{60}=\sqrt{4*15}=2\sqrt{15}$

Answer 2

Для решения задачи нам нужно использовать формулу для нахождения площади треугольника через длины его сторон и медиану. Давайте обозначим стороны треугольника через \( a, b \) и \( c \), а медиану третьей стороны через \( m_c \).

Итак, у нас есть две стороны равные \( 2 \) и \( 2\sqrt{15} \), и медиана \( m_c \) равна \( 4 \).

1. Найдем третью сторону \( c \). Так как у нас две стороны \( a \) и \( b \), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

В данном случае:

\[ c = \sqrt{(2)^2 + (2\sqrt{15})^2} \] \[ c = \sqrt{4 + 60} \] \[ c = \sqrt{64} \] \[ c = 8 \]

Теперь у нас известны все стороны треугольника.

2. Теперь воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника:

Пусть \( s \) - полупериметр треугольника, то есть \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

Площадь \( S \) выражается следующей формулой:

\[ S = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)} \]

В нашем случае:

\[ s = \frac{2 + 2\sqrt{15} + 8}{2} = 5 + \sqrt{15} \]

Теперь можем подставить значения:

\[ S = \sqrt{(5 + \sqrt{15}) \cdot (3 + \sqrt{15}) \cdot (1 + \sqrt{15}) \cdot (5 - \sqrt{15})} \]

После вычислений получим значение \( S \).

Обратите внимание, что подстановка и вычисления могут быть сложными, но их можно упростить, учитывая, что \( (\sqrt{15})^2 = 15 \) и использовать другие тригонометрические тождества для упрощения выражения.