Question

Докажите что АВСD- прямоугольник. А(-1;0) B(0;3) С(6;1) D(5;-2)

Answer 1

АВ(0+1;3-0);ВС(6-0;1-3);СД(5-6;-2-1)АД(5+1;-2-0);АВ(1;3);ВС(6;-2)СД(-1;-3); АД(6;-2)
|АВ|=корень из 11;|ВС|=2корня из 10;|СД|=корень из 11;|АД|=2 корня из 10,значит АВСД - параллелограм|АС|=5 корень из 2;|ВД|=5корень из 2 ,диагонали =, АВСД ПРЯМОУГОЛЬНИК

Answer 2

Для доказательства, что ABCD является прямоугольником, нам необходимо проверить, что все его четыре угла являются прямыми углами.

Для этого мы можем использовать свойство прямоугольника, согласно которому противоположные стороны прямоугольника параллельны и имеют одинаковую длину, а диагонали прямоугольника равны.

Проверка параллельности сторон

Для начала, давайте проверим, являются ли стороны AB и CD параллельными.

Вектор AB задается как: AB = B - A = (0 - (-1), 3 - 0) = (1, 3)

Вектор CD задается как: CD = D - C = (5 - 6, -2 - 1) = (-1, -3)

Если векторы AB и CD параллельны, то их координаты должны быть пропорциональны. Давайте проверим это:

AB_x / CD_x = 1 / (-1) = -1 AB_y / CD_y = 3 / (-3) = -1

Мы видим, что отношения координат по осям x и y равны (-1), что означает, что стороны AB и CD параллельны.

Теперь давайте проверим, являются ли стороны BC и AD параллельными.

Вектор BC задается как: BC = C - B = (6 - 0, 1 - 3) = (6, -2)

Вектор AD задается как: AD = D - A = (5 - (-1), -2 - 0) = (6, -2)

Проверим их пропорциональность:

BC_x / AD_x = 6 / 6 = 1 BC_y / AD_y = -2 / -2 = 1

Мы видим, что отношения координат по осям x и y равны 1, что означает, что стороны BC и AD параллельны.

Проверка равенства длин сторон

Теперь проверим, равны ли длины противоположных сторон AB и CD, а также BC и AD.

Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

Для стороны AB: AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((0 - (-1))^2 + (3 - 0)^2) = sqrt(1^2 + 3^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10)

Для стороны CD: CD = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((5 - 6)^2 + (-2 - 1)^2) = sqrt((-1)^2 + (-3)^2) = sqrt(1 + 9) = sqrt(10)

Мы видим, что длины сторон AB и CD равны sqrt(10).

Теперь проверим длины сторон BC и AD:

Для стороны BC: BC = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((6 - 0)^2 + (1 - 3)^2) = sqrt(6^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40)

Для стороны AD: AD = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = sqrt((5 - (-1))^2 + (-2 - 0)^2) = sqrt((5 + 1)^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40)

Мы видим, что длины сторон BC и AD также равны sqrt(40).

Проверка прямых углов

Теперь нам осталось проверить, что все четыре угла прямые.

Мы можем использовать свойство прямоугольника, согласно которому диагонали прямоугольника равны. Если диагонали равны, то они делят прямоугольник на два прямоугольных треугольника.

Диагональ AC задается как: AC = C - A = (6 - (-1), 1 - 0) = (7, 1)

Диагональ BD задается как: BD = D - B = (5 - 0, -2 - 3) = (5, -5)

Теперь давайте проверим их длины:

AC = sqrt((7)^2 + (1)^2) = sqrt(49 + 1) = sqrt(50) BD = sqrt((5)^2 + (-5)^2) = sqrt(25 + 25) = sqrt(50)

Мы видим, что длины диагоналей AC и BD также равны sqrt(50).

Таким образом, мы видим, что все четыре стороны параллельны и имеют одинаковую длину, а также диагонали равны. Отсюда мы можем заключить, что ABCD является прямоугольником.