Question

Дана четырехугольная пирамида MABCD, в основании которой лежит параллелограмм с острым углом 30 градусов.Стороны параллелограмма AB= 8дм. и AD= 20√3 дм.Найдите объем пирамиды,если меньшая диагональ основания BD и боковое ребро MD пирамиды образуют угол 60 градусов

Answer 1

Площадь основания равна 20√3*8*(1/2) = 80√3;

По теореме косинусов для треугольника ABD

BD^2 = 8^2 + 20^2*3 - 2*8*20√3*(√3/2) = 784; BD = 28;

Треугольник BDM равносторонний, поэтому высота пирамиды равна 28*(√3/2) = 14√3

Объем пирамиды 80√3*14√3/3 = 1120;

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать основные свойства пирамиды и параллелограмма.

1. Найдем высоту параллелограмма. Так как у нас есть острый угол в 30 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрией. Рассмотрим треугольник ABD, где угол B равен 30 градусам. Тогда:

\[ \tan(30^\circ) = \frac{h}{AB} \]

где \( h \) - высота параллелограмма. Поскольку \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\) и \(AB = 8 \, \text{дм}\), мы можем решить уравнение:

\[ h = AB \cdot \tan(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \, \text{дм} \]

2. Теперь мы можем использовать найденную высоту для вычисления объема пирамиды. Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота. Площадь основания параллелограмма можно найти как произведение длины \( AB \) на высоту \( h \):

\[ S_{\text{осн}} = AB \cdot h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 8 \, \text{дм}^2 \]

Теперь можем вычислить объем:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 8 \cdot 8 \, \text{дм}^3 \]

\[ V = \frac{64}{3} \cdot \sqrt{3} \, \text{дм}^3 \]

Таким образом, объем четырехугольной пирамиды равен \(\frac{64}{3} \cdot \sqrt{3} \, \text{дм}^3\).