Question

1. Известно,что |a| = 3, |b - 2a|=корень из 21, |b + 3a| = корень из 166. Найдите а) |b|; б) Пр.b – a (2b+a).(а и b - векторы)2. В треугольнике АВС: |АВ|=4 корня из 2, А = 60*, С = arccos(13 -0.5 AM - медиана. Через вершину В перпендикулярно прямой АМ проведена прямая, которая пересекает прямую АС в точке F. Найдите |AF|.

Answer 1

1.  а) Распишем скалярные произведения векторов (b-2a)  и  (b+3a) самих на себя:

(b-2a)^2 = b^2 - 4ab + 4a^2 = 21           b^2 - 4ab = 21 - 36 = -15

(b+3a)^2 = b^2 + 6ab + 9a^2 = 166        b^2 + 6ab = 166 - 81 = 85

Вычтем из второго первое:  10ab = 100,    ab = 10 (нашли скалярное произведение векторов a и b). b^2 = 25   |b| = 5. (нашли искомый модуль b).

б) Чтобы найти проекцию вектора (2b+a) на вектор (b-a), надо сначала найти cosa (косинус угла между ними).

Составим скалярное произведение:

(2b+a)(b-a) = 2b^2 - ab - a^2 = 50 - 10 - 9 = 31    тогда:

cosa = 31/(|2b+a|*|b-a|)

Тогда проекция (2b+a) на (b-a) равна:

|2b+a|*cosa = 31/|b-a|

Найдем |b-a|: (b-a)^2 = b^2-2ab+a^2 = 25-20+9 = 14

Значит |b-a| = кор14.

И искомая проекция равна: 31/(кор14).

На всякий случай найдем проекцию (b-a) на (2b+a) (просто в условии непонятно какую именно проекцию надо найти).

Данная проекция равна: |b-a|cosa = 31/|2b+a|

Найдем |2b+a|.

(2b+a)^2 = 4b^2+4ab+a^2 = 100+40+9 = 149, тогда:

|2b+a| = кор149

И проекция равна 31/(кор149)

 

Ответ: а) |b| = 5

б) Проекция вектора (2b+a) на вектор (b-a) = 31/(кор14);

    Проекция вектора (b-a) на вектор (2b+a) = 31/(кор149)

(выбирайте ту проекцию, которая реально задана в задании)

 

2. Решил методом координат, ответ: |AF| = 154/37. Если необходимо подробное решение с чертежом, напишите эл. адрес, вышлю на почту к вам фотки, так как на сайте по прежнему не проходят вложения.

Answer 2

Для начала решим систему уравнений, которая описывает значения переменных a и b:

1) |a| = 3 2) |b - 2a| = √21 3) |b + 3a| = √166

Решение системы уравнений

Первое уравнение говорит нам, что модуль переменной a равен 3. Так как модуль всегда неотрицательный, то есть два возможных значения для a: a = 3 или a = -3.

Подставим эти значения во второе и третье уравнения и решим систему:

При a = 3: 2) |b - 2*3| = √21 |b - 6| = √21 Разделим обе части уравнения на √21: |b - 6| / √21 = 1

Здесь у нас есть два возможных значения для модуля |b - 6|: 1) |b - 6| = √21 2) |b - 6| = -√21 (но такое значение модуля невозможно)

Решим первое уравнение: b - 6 = √21 b = √21 + 6 b ≈ 10.58

Подставим a и b в третье уравнение: |b + 3a| = √166 |√21 + 6 + 3*3| = √166 |√21 + 6 + 9| = √166 |√21 + 15| = √166 Здесь у нас есть два возможных значения для модуля |√21 + 15|: 1) |√21 + 15| = √166 2) |√21 + 15| = -√166 (но такое значение модуля невозможно)

Решим первое уравнение: √21 + 15 = √166 √21 = √166 - 15 √21 ≈ 10.49

При a = 3 и b ≈ 10.58, получаем решение для первого случая.

При a = -3: 2) |b - 2*(-3)| = √21 |b + 6| = √21 Разделим обе части уравнения на √21: |b + 6| / √21 = 1

Здесь у нас есть два возможных значения для модуля |b + 6|: 1) |b + 6| = √21 2) |b + 6| = -√21 (но такое значение модуля невозможно)

Решим первое уравнение: b + 6 = √21 b = √21 - 6 b ≈ -3.58

Подставим a и b в третье уравнение: |b + 3a| = √166 |√21 - 6 + 3*(-3)| = √166 |√21 - 6 - 9| = √166 |√21 - 15| = √166 Здесь у нас есть два возможных значения для модуля |√21 - 15|: 1) |√21 - 15| = √166 2) |√21 - 15| = -√166 (но такое значение модуля невозможно)

Решим первое уравнение: √21 - 15 = √166 √21 = √166 + 15 √21 ≈ 19.49

При a = -3 и b ≈ -3.58, получаем решение для второго случая.

Результаты решения системы

Таким образом, получаем два возможных решения для системы уравнений:

1) a = 3, b ≈ 10.58 2) a = -3, b ≈ -3.58

Теперь перейдем ко второму вопросу.

Решение задачи о треугольнике

Дано: - |АВ| = 4√2 - ∠А = 60° - ∠С = arccos(13 - 0.5*AM)

Нам нужно найти |AF|.

Для начала, найдем длину медианы AM.

Медиана делит сторону на две равные части, поэтому:

|AM| = 0.5 * |AB| = 0.5 * 4√2 = 2√2

Теперь найдем угол ∠С:

∠С = arccos(13 - 0.5*AM) = arccos(13 - 0.5*2√2) = arccos(13 - √2) ≈ 83.89°

Известно, что прямая, проведенная через вершину В и перпендикулярная прямой АМ, пересекает прямую АС в точке F.

Теперь мы можем найти |AF|.

Для этого нам понадобится использовать тригонометрию треугольника АВС.

Мы знаем, что ∠С = 83.89° и ∠А = 60°.

Используя закон синусов, мы можем найти |AF|:

sin(∠С) / |AF| = sin(∠А) / |AB|

sin(83.89°) / |AF| = sin(60°) / (4√2)

|AF| = (4√2 * sin(83.89°)) / sin(60°) ≈ 4.71

Таким образом, получаем, что |AF| ≈ 4.71.