Question

Объясните суть доказательства от противного

Answer 1

Если теорема не имеет прямого доказательства, то её доказывают методом от противного. Т.е. предполагают то, чего бы не было. И если что-то противоречит условию, то предположение является неверным, а значит, теорема доказана.

Answer 2

Доказательство от противного - это метод математического доказательства, который используется для опровержения утверждения путем предположения его ложности и вывода противоречия.

Процесс доказательства от противного начинается с предположения, что утверждение, которое мы хотим опровергнуть, ложно. Затем мы используем это предположение, чтобы вывести другое утверждение, которое противоречит уже известным фактам или противоречит другим утверждениям, которые мы уже доказали.

Если мы получаем противоречие, то мы заключаем, что наше начальное предположение было неверным, а значит, исходное утверждение является истинным.

Например, допустим, мы хотим доказать, что утверждение "для любого положительного числа x, если x^2 = 2, то x - иррациональное число" является истинным.

Мы можем начать с предположения, что "для любого положительного числа x, если x^2 = 2, то x - рациональное число". Затем мы можем использовать это предположение, чтобы получить другое утверждение, например, "если x - рациональное число, то x можно представить в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, и q ≠ 0". Затем мы можем использовать это утверждение, чтобы получить новое утверждение "если x можно представить в виде дроби p/q, то x^2 можно представить в виде (p^2)/(q^2)".

Теперь мы знаем, что x^2 = 2 и x^2 = (p^2)/(q^2). Из этих двух утверждений мы можем вывести противоречие: (p^2)/(q^2) = 2, что противоречит определению рационального числа.

Таким образом, мы пришли к выводу, что наше начальное предположение было неверным, и, следовательно, исходное утверждение "для любого положительного числа x, если x^2 = 2, то x - иррациональное число" является истинным.

Доказательство от противного является мощным инструментом в математике, который позволяет опровергать утверждения и устанавливать их истинность. Оно основано на логическом рассуждении и применяется во многих областях математики и науки.