Question

100 баллов::::: Определите углы равнобедренного треугольника, если биссектриса угла при основании этого треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному

Answer 1

Думается так: Чтобы отсекаемый биссектрисой угла при основании, треугольник был подобным, надо чтобы угол при основании был в два раза больше угла, который напротив основания.
Т.о. Если равнобедренный треугольник ABC у которого AC основание, то для углов A, B, C будет справедливо следующее: $\left \{ {{ \frac{1}{2}A=B} \atop {2*A + B=180}} \right.$
$\left \{ {{A=2*B} \atop {5*B=180}} \right.$
$\left \{ {{B=36} \atop {A=C=72}} \right.$
Углы треугольника 72, 36, 72

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах равнобедренных треугольников и биссектрисе угла.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу, а два соответствующих угла при основании также равны. Обозначим основание равнобедренного треугольника как AB, а вершины как C и D. Таким образом, сторона AC равна стороне BC, а угол A равен углу B.

По свойствам биссектрисы угла, она делит противолежащую сторону на две части, пропорциональные друг другу и пропорциональные отрезкам основания. Обозначим точку пересечения биссектрисы с противолежащей стороной как E.

Так как треугольник, отсеченный биссектрисой, подобен исходному треугольнику, отношение длины отрезка DE к длине отрезка CE равно отношению длины отрезка BD к длине отрезка AD.

Теперь рассмотрим углы. Обозначим угол ACE как α и угол BDE как β. Так как треугольник ADE подобен треугольнику BDE, углы α и β тоже равны.

Таким образом, у нас есть равенство углов α и β, а также равенство углов A и B. Из этих равенств следует, что углы α и β также равны углам A и B. То есть, углы при основании равнобедренного треугольника равны друг другу и равны половине угла при вершине.

Ответ: Углы равнобедренного треугольника равны друг другу и равны половине угла при вершине.