Question

Плиз Помогите.Две окружности с центрами О1 и О3 радиусами 4,5 и 2.5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром О2 радиусом 7,5. Найдите угол О1О2О3.

Answer 1

Диаметр окружности О2 =7,5*2=15 = АВ, сумма диаметров окружностей О1 и О2=(4,5*2)+(2,5*2)=14=СД, т.е.СД  - хорда и лежит выше или ниже диаметра (пусть ниже)проводим перпендикуляр О2К на СД, СД=КД=14/2=7, треугольникО2СК , О2С- радиус=7,5, О2К=корень(О2С в квадрате-СК в квадрате) =корень( 56,25-49)=корень7,25, точкаМ -касание окружностей О1 и О3, СМ=диметр окружностиО1=9, О1К=СК-СО1=7-4,5=2,5, треугольник О1О2К, О1О2=корень(О1К в квадрате+О2К в квадрате)=корень (6,25+7,25)=корень13,5=3,67, sin углаО1О2К=О1К/О1О2=2,5/3,67=0,681=угол 43 град, КМ=О1М-О1К=4,5-2,5=2, КО3=КМ+МО3=2+2,5=4,5, треугольник КО2О3, О2О3=корень(КО3 в квадрате +О2К в квадрате)=корень(20,25+7,25) =5,24, sin угла КО2О3=КО3/О2О3=4,5/5,24=0,8588=угол 59 град, уголО1О2О3=59+43=102

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится знание о том, что касательная, проведенная к окружности в точке касания, является перпендикуляром к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания.

Построим рисунок, чтобы было проще визуализировать данную задачу.

О3 | | | О2 | | | | | | | | О1

По условию задачи, окружности с центрами О1 и О3 касаются друг друга внешним образом. Это означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. О1О3 = 4.5 + 2.5 = 7

Окружность с центром О2 касается окружности с центром О1 внешним образом. Значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. О1О2 = 4.5 + 7.5 = 12

Теперь мы можем построить треугольник О1О2О3, зная длины его сторон.

Треугольник О1О2О3 является прямоугольным, так как О1О3 и О1О2 - радиусы окружностей, а радиусы являются перпендикулярами к касательным, проведенным из точек касания. Следовательно, угол О1 в треугольнике О1О2О3 является прямым углом.

Теперь нам нужно найти угол О2 в треугольнике О1О2О3. Для этого воспользуемся теоремой косинусов.

cos(∠О2) = (О1О3^2 + О1О2^2 - О2О3^2) / (2 * О1О3 * О1О2) cos(∠О2) = (7^2 + 12^2 - 7.5^2) / (2 * 7 * 12) cos(∠О2) = (49 + 144 - 56.25) / 168 cos(∠О2) = 136.75 / 168 cos(∠О2) ≈ 0.813

Теперь найдем сам угол О2, применив обратную функцию косинуса.

∠О2 = arccos(0.813) ∠О2 ≈ 37.54°

Таким образом, угол О1О2О3 равен 90° + 37.54° = 127.54°.