Question

Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4см, а двугранный угол при основании равен 60. найти объём пирамиды. Полное решение с рисунком !

Answer 1

Дано:
АВСД-прав. пирамида, ДК-апофема, ДК=4 см, угол ДКА=60 гр.
Найти:
 VАВСД
Решение:
1)проведём высоту ДО=h и рассмотрим п/у тр-к ДОК: ОК=ДК/2=2 см (как катет против угла в 30 гр) .
Тогда DО²=DK²-OK²;DO²=4²-2²=12=>DO=h==V12=2V3 см.
2)Точка О делит медиану АК в отношении 2:1,значит, АО=4 см, тогда АК=6 см.
Пусть сторона осн-я а, тогда по т. Пифагора: a²-(a/2)²=AK²;a²-a²/4=36=>a²=48.
3)Sосн=a²V3/4;Sосн=12V3 кв. см.
4)V=Sосн*h/3;V=(12V3)*(2V3)/3=24(куб. см).
Замечание: Апофема-длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон. 
Рисунок смотрите ниже, он не точное подобие того, что в дано, просто надо малость изменить буквы и все. 

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей. По-видимому, в задаче описывается правильная треугольная пирамида, у которой апофема (расстояние от вершины пирамиды до центра её основания) равна 4 см, и двугранный угол при основании равен 60 градусов.

Пусть \(ABCD\) - основание пирамиды (правильный треугольник), \(O\) - его центр, \(V\) - вершина пирамиды, а \(AV\) - апофема.

Мы знаем, что апофема \(AV = 4\) см. Также у нас есть двугранный угол при основании \(ABC\), который равен 60 градусов.


Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOV\), где \(AO\) - половина стороны основания, а \(AV\) - апофема. Угол \(OAV\) равен 30 градусов (половина угла при основании).

Теперь мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты пирамиды \(OV\). В прямоугольном треугольнике \(AOV\) катет \(AO\) можно найти, используя тангенс угла \(OAV\):

\[ \tan(30^\circ) = \frac{AO}{AV} \]

\[ \tan(30^\circ) = \frac{AO}{4} \]

Отсюда находим \(AO\):

\[ AO = 4 \cdot \tan(30^\circ) \]

Теперь, когда у нас есть длина \(AO\), мы можем использовать ее, чтобы найти высоту пирамиды \(OV\). Для этого используем теорему Пифагора:

\[ OV = \sqrt{AO^2 + AV^2} \]

\[ OV = \sqrt{(4 \cdot \tan(30^\circ))^2 + 4^2} \]

Вычислим это выражение:

\[ OV = \sqrt{(\frac{4}{\sqrt{3}})^2 + 16} \]

\[ OV = \sqrt{\frac{16}{3} + 16} \]

\[ OV = \sqrt{\frac{64}{3}} \]

Теперь у нас есть высота пирамиды \(OV\). Чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h \]

Где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания, которая для правильного треугольника равна:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{сторона}^2 \]

Таким образом,

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \text{сторона}^2 \cdot \text{высота} \]

Подставим значения:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 \cdot \sqrt{\frac{64}{3}} \]

После упрощения получим значение объема пирамиды \(V\).