Question

Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной 4см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 45° - следовательно, все ребра равны, а их проекции равны радиусу описанной около основания пирамиды окружности, Основание высоты пирамиды - центр О описанной окружности. . Величина её радиуса АО равна 2/3 высоты основания. 

AH=AB•sin60°=4√3/2=2√3

$AO=2 \sqrt{3} * \frac{2}{3}= \frac{4}{ \sqrt{3} }$

Высота МО перпендикулярна основанию

∆АМО - прямоугольный, острый угол МАО=45°, следовательно, второй АМО=45°, и высота пирамиды МО=АО=4/√3

Формула объёма пирамиды  V=S•h:3

S(∆ABC)=AB²•√3/4=16√3/4=4√3

$V= \frac{4 \sqrt{3} *4}{ \sqrt{3}} :3 = \frac{16}{3} sm^{3}$

Answer 2

Для нахождения объема пирамиды можно воспользоваться формулой:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

В данном случае основание пирамиды - равносторонний треугольник со стороной 4 см. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

S = (sqrt(3) / 4) * a^2,

где a - длина стороны треугольника.

Подставим значения:

S = (sqrt(3) / 4) * 4^2 = (sqrt(3) / 4) * 16 = 4 * sqrt(3) см^2.

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого построим высоту, проведя ее из вершины пирамиды до середины основания. Так как треугольник равносторонний, высота будет проходить через середину основания и образовывать прямой угол с его стороной.

Таким образом, высота пирамиды будет равна половине высоты равностороннего треугольника. Высота равностороннего треугольника можно найти по формуле:

h = (sqrt(3) / 2) * a,

где a - длина стороны треугольника.

Подставим значение:

h = (sqrt(3) / 2) * 4 = 2 * sqrt(3) см.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (4 * sqrt(3)) * (2 * sqrt(3)) = (1/3) * 4 * 2 * (sqrt(3))^2 = (8/3) * 3 = 8 см^3.

Таким образом, объем пирамиды равен 8 см^3.