Question

В правильной пирамиде sabc точка m - середина ребра bc, s - вершина. известно, что ab=6, а площадь боковой повехности равна 47. найдите длину отрезка sm.

Answer 1

Площадь боковой поверхности = 3(ВС*SM*1/2)=47
BC*SM*1/2 =47/3
BC*SM = (47*2)/3
BC=AВ=6 (в правильной пирамиде в основании лежит равностороний треугольник)
6*SM=(47*2)/3
SM= (47*2)/(3*6)= 94/18=47/9=5 целых 2/9
Я не уверен в правильности решения.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте рассмотрим правильную пирамиду SABC, где точка M - середина ребра BC, а точка S - вершина.

Обозначим длину отрезка AB как a. Из условия задачи известно, что \(AB = 6\).

Также известно, что площадь боковой поверхности пирамиды равна 47. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно выразить формулой:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot l,\]

где \(P_{\text{осн}}\) - периметр основания, \(l\) - длина боковой грани.

В случае правильной пирамиды с треугольным основанием \(ABC\), периметр основания равен сумме длин сторон треугольника:

\[ P_{\text{осн}} = AB + BC + CA.\]

Поскольку \(AB = 6\), а пирамида правильная, то \(BC = CA = a\).

Таким образом,

\[ P_{\text{осн}} = 6 + a + a = 6 + 2a.\]

Теперь можем выразить длину боковой грани \(l\) через длину отрезка \(a\):

\[ l = \sqrt{a^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}.\]

Теперь можем записать уравнение для площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot (6 + 2a) \cdot \sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = 47.\]

Решим это уравнение относительно \(a\).

\[ (6 + 2a) \cdot \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = 94.\]

\[ (6 + 2a) \cdot \sqrt{\frac{4a^2 + a^2}{4}} = 94.\]

\[ (6 + 2a) \cdot \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = 94.\]

\[ (6 + 2a) \cdot \frac{\sqrt{5} \cdot a}{2} = 94.\]

\[ (6 + 2a) \cdot \sqrt{5} \cdot a = 188.\]

\[ (3 + a) \cdot \sqrt{5} \cdot a = 94.\]

\[ \sqrt{5} \cdot a + a \cdot \sqrt{5} = 94 - 3 \cdot \sqrt{5} \cdot a.\]

\[ a \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} \cdot a = 94.\]

\[ a \cdot \sqrt{5} \cdot (1 + 3) = 94.\]

\[ a \cdot \sqrt{5} \cdot 4 = 94.\]

\[ a \cdot \sqrt{5} = \frac{94}{4}.\]

\[ a = \frac{94}{4 \cdot \sqrt{5}}.\]

Теперь найдем длину отрезка \(SM\). Поскольку \(M\) - середина ребра \(BC\), длина отрезка \(SM\) равна половине длины боковой грани:

\[ SM = \frac{l}{2}.\]

Подставим значение \(l\), которое мы нашли ранее:

\[ SM = \frac{\sqrt{a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}}{2}.\]

Подставим значение \(a\):

\[ SM = \frac{\sqrt{\left(\frac{94}{4 \cdot \sqrt{5}}\right)^2 + \left(\frac{94}{8 \cdot \sqrt{5}}\right)^2}}{2}.\]

Теперь решим это численно:

\[ SM \approx \frac{\sqrt{\frac{94^2}{4^2 \cdot 5} + \frac{94^2}{8^2 \cdot 5}}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{\sqrt{\frac{94^2}{5} \cdot \left(\frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2}\right)}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{\sqrt{\frac{94^2}{5} \cdot \frac{64 + 16}{8^2}}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{\sqrt{\frac{94^2}{5} \cdot \frac{80}{8^2}}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{\sqrt{\frac{94^2}{5} \cdot \frac{10}{8}}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{\sqrt{\frac{94^2}{5} \cdot \frac{5}{4}}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{\sqrt{\frac{94^2}{4}}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{\frac{94}{2}}{2}.\]

\[ SM \approx \frac{94}{4}.\]

\[ SM \approx 23.5.\]

Таким образом, длина отрезка \(SM\) равна приблизительно 23.5.