Question

на стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так, что AK = 1/4 KD. Диагональ AC пересекает отрезок BK в точке P. Найти площадь параллерограмма, если площадь APK 1см2

Answer 1

Треугольники АРК и ВРС подобны (смотри рисунок) по трём углам(вертикальный и накрест лежащие). Пусть АК=Х, тогда КД=4Х, а ВС=АД=Х+4Х=5Х.  ВС/АК=5Х/Х=5. Это и есть коэффициент подобия. Следовательно если высота треугольника АРК равна У, то высота треугольника ВРС равна 5У. Найдём площади. Sарк=1/2*Х*У=1.  Тогда Х*У=2.    Площадь параллелограмма равна Sавсд=АД*Н=5Х*6У=30Х*У. Подставляем значение Х*У=2, получим Sавсд=30*2=60.  Эта задача интересна тем, что при заданном условии можно построить множество параллелораммов с площадью=60(на рисунке в качестве примера представлено два). Если интересно могу написать как это делается.

Answer 2

Дано: - Параллелограмм ABCD - Точка K на стороне AD, такая что AK = (1/4)KD - Диагональ AC пересекает отрезок BK в точке P - Площадь треугольника APK равна 1 см²

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться следующими свойствами:

1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону.

2. Площадь треугольника равна половине произведения длин его сторон на синус угла между этими сторонами.

Давайте вначале найдем длину стороны AK. Для этого воспользуемся условием AK = (1/4)KD. Пусть KD = x. Тогда AK = (1/4)x.

Также нам дано, что площадь треугольника APK равна 1 см². Пусть стороны треугольника APK равны a, b и c. Тогда площадь треугольника можно выразить через его стороны и синус угла между ними следующим образом:

1 = (1/2) * a * c * sin(APK)

Так как стороны треугольника равны AK, b и PK, и мы знаем, что AK = (1/4)KD, мы можем записать:

1 = (1/2) * (1/4)x * b * sin(APK)

Теперь давайте найдем выражение для площади параллелограмма ABCD. Для этого мы должны найти длину одной из его сторон и высоту, опущенную на эту сторону.

Давайте рассмотрим сторону AB. Мы знаем, что сторона AK равна (1/4)KD, и сторона AB равна AK + KB. Таким образом, сторона AB равна (1/4)KD + KB.

Чтобы найти высоту, опущенную на сторону AB, давайте рассмотрим треугольник ABP. Мы знаем, что сторона APK равна a, сторона PK равна b и угол между сторонами APK и PK равен 90 градусов, так как высота перпендикулярна стороне AB. Таким образом, высота, опущенная на сторону AB, равна 2 * площадь треугольника APK / сторона AB:

h = 2 * (1/2) * a * b / ((1/4)KD + KB)

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма ABCD, умножив длину стороны AB на высоту, опущенную на эту сторону:

Площадь ABCD = (1/4)KD + KB * h

Таким образом, мы можем найти площадь параллелограмма ABCD, используя известные значения и формулы.